材料属性温度相关变厚度FGM圆板自由振动DQM求解

李清禄，王文涛，杨静宁

(兰州理工大学 理学院工程力学系，兰州 730050)

为满足材料能够抵抗高温环境,日本科学家在80年代制造了功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)[1]。功能梯度材料通常是由陶瓷和金属构成的复合材料，其材料性能从一侧到另一侧连续梯度变化。这种连续的空间变化的成分设计，可以减轻应力集中附近的空隙、缺陷或对材料进行优化，以达到预期的工程目标。功能梯度材料具有巨大的潜在的技术和工程应用，特别是在极端热环境下，可以明显减少由于高温梯度引起的应力集中。

目前，就功能梯度材料的热屈曲和自由振动做了大量的研究[2]。Yang等[3]基于高阶板理论，研究了功能梯度薄圆板的热屈曲行为，获得了热临界温度的封闭解。Yang等[4]采用高阶剪切理论，研究了非均匀升温下矩形板的非线性弯曲和过屈曲问题，并对带有裂纹FGM梁受到轴向载荷和移动载荷作用下的自由和受迫振动作了分析。Li等[5]采用打靶法研究了具有初始缺陷FGM圆板的热后屈曲行为。Kermani等[6]利用三维弹性理论建立了FGM圆板和圆环板的自由振动控制方程，利用微分求积法求解了问题的数值解，讨论了厚径比和梯度指数对无量纲频率的影响。Mantari等[7]基于广义准三维混合高阶剪切变形理论，研究了弹性地基上功能梯度矩形板的自由振动响应。以上文献都没有考虑材料物性参数的温度相关性。Reddy等[8]表明，FGM材料的物性参数与温度变化是相关的。

Malekzadeh等[9]利用微分求积法研究了双参数弹性地基上FGM薄至中厚环板在热环境中的自由振动问题。Yang等[10]研究了剪切变形圆/环板的热后屈曲行为，其中精确考虑了温度对物性参数的依赖性。Shen等[11]考虑了材料物性参数的温度相关性，分别采用Voigt混合率模型和Mori-Tanaka模型研究了热环境中FGM矩形板的自由振动。Shen等[12]考虑了材料的温度相关性，研究了弹性地基上FGM圆柱曲板在径向压力下的热屈曲问题。

由于制造技术和材料科学的发展,人们能将圆板加工成各种变厚度的圆板以满足航空航天等工程领域的要求，目的是减轻自重和几何尺寸。由于FGM材料的兴起，变厚度FGM结构广泛应用于航空航天、土木以及核工业等领域，因此变厚度FGM结构的力学行为的研究具有现实的工程背景。然而文献调研所知，材料属性温度相关变厚度FGM圆板自由振动的研究目前在国内外还没有相关的报道。

本文研究了变厚度Mindlin功能梯度材料圆板在热环境中的横向自由振动问题。假设材料属性温度相关且材料组分研板的厚度按幂指数梯度连续变化。基于一阶剪切板理论，利用哈密顿原理建立了以中面转角和横向位移为基本未知量的FGM变厚度圆板轴对称自由振动问题的控制微分方程。采用微分求积法将微分方程组转化为自由振动代数方程，求解特征值问题从而求得自由振动的前几阶频率，并与已有的各向同性材料圆板以及FGM圆板的无量纲频率进行了比较，证实所得的结果的可靠性。给出了均匀升温和非均匀升温两种情况下，板的厚度、材料梯度指数以及厚度变化系数不同时的固有频率。详细讨论了材料梯度指数、厚度变化系数、温度变化以及边界条件对频率的影响。

1 FGM物性参数及温度场描述

1.1 物性参数描述

考虑FGM材料板为陶瓷ZrO2和金属Ti-6Al-4V复合而成，板的下面为纯陶瓷，陶瓷材料的体积分数可用下面的表达式给出

(1)

式中：p代表FGM从上表面过渡到下表面的梯度指标。p=0代表纯陶瓷材料，随着p的增加，板内陶瓷材料的成分逐渐减少,金属(Ti-6Al-4V)直到变成纯金属。

采用Voigt等应变的线性混合率模型，则FGM材料的等效物性参数弹性模量E、密度ρ、泊松比υ、热膨胀系数α、热传导系数K是依赖于温度T的，可描述为

E(z,T)=Em+(Ec-Em)(0.5+z/h)p

(2)

ρ(z,T)=ρm+(ρc-ρm)(0.5+z/h)p

(3)

υ(z,T)=υm+(υc-υm)(0.5+z/h)p

(4)

α(z,T)=αm+(αc-αm)(0.5+z/h)p

(5)

K(z,T)=Km+(Kc-Km)(0.5+z/h)p

(6)

1.2 温度场描述

考虑材料物性参数P与温度相关[13]

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2)

(7)

式中：T=T0+ΔT，室温T0=300K。材料随温度变化的物性参数，如表1所示[11]。记陶瓷一侧和金属一侧的温度分别为Tc和Tm，板内温度沿厚度变化。其中升温满足一维热传导方程

(8)

边界条件为

T(h/2)=Tc,T(-h/2)=Tm

(9)

方程(8)在边界条件(9)下的幂级数形式的解为

其中

Tr=Tc/Tm,Kcm=Kc-Km

表1 陶瓷和金属随温度变化的物性系数Tab.1 Temperatur-dependent coefficients for ceramic and metals

2 控制微分方程

考虑一半径为a,变厚度h(r)的FGM中厚圆板。厚度从板中心到外边界按线形变化h(r)=h0+λr。其中，h0为板中心处的厚度，λ为厚度变化系数。在板上施加沿厚度方向变化的温度场T。采用极坐标系(r,θ,z)，r，θ和z分别为径向、环向和横向坐标。

考虑轴对称自由振动，根据一阶剪切板理论，其位移场可写为

(10)

式中：w为板横向位移；ψ为板中面法线的转角；t为时间变量。

几何方程：

(11)

物理方程：

图1 FGM圆板示意图Fig.1 Sketch map of the FGM circular plate

将式(11)代入式(12)，并沿厚度方向积分，可得内力为

(13)

Mindlin板的剪切系数为κs=12/π2。

式(13)中刚度系数的定义为

(14)

热轴力和热弯矩为

(15)

运动方程：

应变能变分为

(16)

动能变分为

(17)

由Hamilton原理，由

(18)

将式(13)代入式(18),可得位移形式的控制方程

(19)

假设板振动的位移和转角均为时间的谐响应模态

(20)

将式(20)代入式(19)，可得位移形式的运动控制方程如下

(21)

(22)

其中

为计算方便，采用如下量纲一变换

得FGM Mindlin圆板轴对称振动无量纲控制方程为

(23)

考虑传统的两种边界条件,

(1)周边夹紧

(24a)

(2) 周边不可移简支

(24b)

3 DQM方程的离散

按照DQM方法的原理,沿径向方向0≤r≤R将半径划分N个节点,本文采用非均匀节点划分方式

(25)

由微分求积法，一阶导数权系数为

类似地，二阶及二阶导数权系数为

控制方程(23)和边界条件(24a),(24b)通过DQM离散后，可得下面的代数方程组

k=2,3,…N-1

(26)

周边夹紧

(27a)

周边不可移简支

(27b)

这样，变厚度FGM圆板在热环境中自由振动的控制方程(26)与边界条件(27a),(27b)就构成了征值方程，可用分块矩阵象征性表示为

其中

{Xb}=[W1,WN,φ1,φN]T

{Xi}=[W2,W2,…WN-1,φ2,φ3,φN-1]T

(28)

利用式(26)消去{Xb}可得特征值方程

(29)

4 数值结果及分析

首先，将对DQM结果的收敛性进行讨论。计算中取p=0，λ=0，Tc=Tm=0K，则FGM圆板退化为均匀各项同性等厚度圆板的自由振动问题。对于给定的不同节点N，表2给出了固支边界下圆板的前三阶量纲一固有频率，并和文献[14]三维弹性解和文[15]的解析解进行了比较，从计算结果看出，取9个节点计算的结果已和文献结果十分接近。当节点数超过13时，DQM计算的结果载不增加了。这说明，13个节点就可以得到足够精确的数值解答。表3为N=13时的计算结果，并与文献[14-15]作了比较，其结果十分吻合。因此，后面的计算都取13个节点。用DQM法取较少的节点数就能得到精度比较高的结果，费时少而精度高。

表4给出了FGM圆板的计算结果的比较情况,取等厚度圆板δ=0.01,λ=0,p=0,0.1,1,5时，FGM圆板在无升温下轴对称自由振动的前三阶量纲一固有频率。从表4可以看出，本文的计算结果和文献[16]给出的FGM圆板的结果非常接近,说明本文方法的正确性和DQM方法的适用性。

表5和表6分别给出了固支和简支两种边界下，厚度变化系数λ=0时，不同梯度指标p下Mindlin圆板在不同均匀升温下的前三阶量纲一频率。表5不难看出，对于固支圆板，δ一定时板的前三阶固有频率均随p的增加而降低，p一定时板的前三阶频率均随厚度δ的增加而减小，这一结论和文献[17]给出的结果是相似的，但由于均匀升温导致了相同条件下的固有频率和文献[17]相比减小了。同时看出，固有频率随升温的升高会降低。从表6反映出，简支板的二阶和三阶频率随p和δ的增加都会减小，但一阶频率却并非如此，这和文献[17]给出的无温度作用下的情况是相反的。

图2～图4分别给出了固支边界下,λ=0.05时,前三阶量纲一频率在不同非均匀升温下随梯度指标p的变化关系图。由图可见，随非均匀升温的增加固有频率单调减小。图5为截面变化系数λ对前三阶频率的影响曲线，可见，随λ的增加一阶频率单调增加，二、三阶频率单调减小。

表2 固支板自由振动量纲一频率ω(p=0)Tab.2 Dimensionless natural frequencies ω of vibration for Mindlin plates with clamped edge

表3 简支板自由振动量纲一频率ω(p=0)Tab.3 Dimensionless natural frequencies ω of vibration for Mindlin plates with simply supported edge

表4 不同梯度指标p下圆板自由振动量纲一频率ωTab.4 Dimensionless natural frequencies ωn of FGM Mindlin plates with different graded index

表5 均匀升温下周边固支FGM圆板自由振动量纲一固有频率ωnTab.5 Dimensionless natural frequencies ωn of FGM circular plates subjected to uniform temperature with clamped edge

表6 均匀升温下周边简支FGM圆板自由振动量纲一固有频率ωnTab.6 Dimensionless natural frequencies ωn of FGM circular plates subjected to uniform temperature with simply supported edge

图2 周边固定时非均匀升温时对一阶频率与梯度指数关系的影响 图3 周边固定时非均匀升温时对二阶频率与梯度指数关系的影响 图4 周边固定时非均匀升温时对三阶频率与梯度指数关系的影响 Fig.2 Effect of uniform temperature rise on material constant vs.fundamental frequency with clamped edge Fig.3 Effect of uniform temperature rise on material constant vs.second-mode frequency with clamped edge Fig.4 Effect of uniform temperature rise on material constant vs.third-mode frequency with clamped edge

图5 不同梯度指数下厚度变化系数对FGM圆板一阶频率的影响 图6 周边固定下非均匀升温对前三阶频率的影响 图7 周边简支下非均匀升温对FGM圆板一阶频率的影响Fig.5 Effect of thickness variation coefficient on the first three frequencies under different material of the material constant Fig.6 The influence of temperature dependence f the material properties on the fundamental frequency of the clamped FGM plates subjected non-uniform temperature rise Fig.7 The influence of temperature dependence of the material properties on the fundametal frequency of the simply supported FGM plates subjected to non-uniform temperature rise

图6和图7分别给除了周边固定和简支条件下，取梯度指标p=0.5,中心厚度和半径比δ=0.2,厚度变化系数λ=0.1情况下均匀升温和非均匀升温对一阶固有频率的影响。可以看出，温度变化对板固有频率有较大影响，且这种影响随升温的增加而显著增加。考虑材料属性温度相关下的固有频率略高于不考虑温度相关下的。

4 结 论

基于一阶剪切理论，研究了功能梯度变厚度圆板在热环境中的轴对称自由振动。其中假设材料梯度仅沿厚度呈幂指数变化且物性参数与温度相关，利用哈密顿原理推导了以中面转角和横向位移为基本未知量的自由振动问题的控制方程。利用DQM法求解了周边固定和简支两种边界条件下的自由振动无量纲频率，将得到的结果与均匀以及FGM材料圆板已有结果进行了比较，显示了本文方法的正确性。数值结果表明:

(1) 均匀和非均匀升温下，固支和简支圆板的无量纲频率都随梯度指数的增加而减小。同样条件下，固支圆板的频率高于简支圆板的频率。

(2) 均匀升温下，FGM固支圆板的无量纲频率随随厚径比的增加而减小，但FGM简支圆板的无量纲频率并非如此。

(3) 随均匀和非均匀升温的增加，FGM圆板无量纲频率都减小，非均匀升温下的频率高于均匀升温下的。

(4) 随变厚度系数的增加，无量纲频率减小。考虑温度相关时的频率略高于温度无关时的频率。

参 考 文 献

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