解题反思在数学教学中的作用探赜

2018-05-24王梧代少国

成才之路 2018年11期

王梧代少国

摘要：解题反思是对解题过程和解题结果的分析回顾，它对破解认识封闭、助力条件挖掘、定向解题思路和摆脱变式训练困惑等有重要作用。文章从借力反思、破解认识封闭，巧用反思、助力条件挖掘，活用反思、定向解题思路，常用反思、摆脱变式困惑几方面研究学生如何通过解题反思获得更好的解题能力。

关键词：中学数学；解题反思；作用；问题意识；创新意识

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2018）11-0053-02

一、借力反思，破解认识封闭

例1，观察图1中函数图像，并根据所获得的信息回答下列问题。折线OABC表示某个实际问题的函数图像，请设计一道符合图像意义的应用题。

从学生们解答这道题的结果看，抽象出来的运动特征基本上都是：1）在OA段上匀速直线运动；2）在AB段上静止；3）在BC段上匀速直线运动。这里的认识封闭性在于，随着时间的推移而路程不变，当然是静止。但随着时间的推移而距离或长度不变，则可能是静止也可能是运动。

例2，如图2，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是（）。

经分析易知应选择C选项。因为在破除“有静无动”的封闭认识的同时，不能进入另一个认识封闭，那就是“全静或全动”的封闭认识。蚂蚁在圆弧段可静可动，但它到点O的距离S都不变。所以，还要破除在AB段全静或全动的封闭认识，在AB段应该“动静共存”。

两例的解题反思，使学生对生活情境和图像的关系有了更深层次的认识，更是打破了学生在AB段“有静无动或全动全静”的封闭认识，进而学生再对图像赋予实际意义时，便会根据自己的不同的生活体验和数学认知水平而编拟出丰富多彩的答案。

二、巧用反思，助力条件挖掘

利用解题反思，回顾解题过程，思考是否浪费了更重要的信息，找出被“浪费”的信息，以便开辟出新的解题通道。

例3，1）已知直線上有A（1，-2），B（-1，2）两点，试求它的解析式； 2）已知抛物线过A（-2，0），B（-，）和C（1，0）三点，求它的解析式。

学生对利用待定系数法求解函数解析式掌握得比较娴熟，会根据以往的解题经验，自然而然地想到利用待定系数法来求解例3中的两小题，并能准确得出1）的函数解析式为y=-2x，2）的函数解析式为y=-x2-x+2。多数学生到此结束，完成了解题。如果教师在此有意识地引导学生对解题过程和结果再做分析，会发现例3中1）的结果是特殊的一次函数。出现这个结论是偶然现象还是必然结果呢？再引导学生回过头对解题过程进行反思，原来A、B两点关于原点对称，所以过这两点的直线必过原点，那么所求的一次函数就是正比例函数了，从而就获得了更简洁的解法。直接设所求的一次函数为，再有A（1，-2）在直线上，得出，求得函数解析式为y=kx，再有A（1，-2）在直线上，得出k=-2，求得函数解析式为y=-2x。对2）的解析式y=-x2-x+2进行分析，找出对称轴为直线x=-，教师可适时提出对称轴能否从已知条件另行求出的问题，引导学生对解题过程进行反思，从而找到了另一种更优的解法。设函数解析式为y=a（x+）2+，再由点C（1，0）在该抛物线上，得出a=-1，从而求得该函数解析式为y=-（x+）2+=-x2-x+2。要想利用解题反思找出隐含条件，需要教师习惯性地引导学生重新审视每个知识点的发散度，特别是要从知识链上对知识内容进行多角度的理解。

三、活用反思，定向解题思路

例4，已知：关于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，求证：2b=a+c。

通过对条件的感知，学生对一元二次方程的实数根与判别式的关系进行了思考，根据以往的解题经验，学生得出利用Δ=0的解题思路。由Δ=0得到（c-a）2-4（b-c）（a-b）=0化简得a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0。多数学生由于基本功不够扎实或没有受到过对上式进行处理的训练，因而到此就无法进行下去了。少数同学能进行化简得到（a+c-2b）=0结论，进而得出a+c=2b，故命题得证。该解法想法虽好，但化简过程对初中生而言显得较烦琐，且容易出错。甚至部分学生对式子a2+4b2+ c2+2ac-4ab-4bc=0的化简无从入手。如果教师引导学生反思求证部分，将待证结论作为一个有用的信息，与已知相结合就会对求解思路起到一个定向的作用，从而就能得出一个更简洁的证法。利用待证的结论，可以诱发如下思考：若2b=a+c则a-b=b-c，c-a=-2（b-c）。原方程可变形为（b-c）x2-2（b-c）x+（b-c）=0，提取（b-c）后得（b-c）（x2-2x+1）=0。由于原方程是一元二次方程，故b-c≠0，所以x2-2x+1=0，求得x1=x2=1。将结论作为一个有用的信息，找到原方程的根为x1=x2=1后，从而就找到了一个新的解题思路。解：经检验x=1是原方程的一个根，且该方程有两个相等的实数根，所以x1x2=1。根据根与系数的关系得=1，经化简得2b=a+c。相比较两种方法，后一种方法逻辑关系简单了，使用的知识减少了，且解题步骤缩短了，更为重要的是运算量减少了，简单得连犯错的机会都没有。可见，在分析解题过程时，结论也是一个非常有用的信息，这会使得学生对题目的认识更为深刻和全面。多了这个信息后，情况就大不相同了，它可为解题思路提供定向的作用。

四、常用反思，摆脱变式困惑

部分学生每天被数学题海包围，重复着似曾相识的题目，因不能找出它们之间存在的共性而致使问题无法获得解决。久而久之，学生会感受不到数学的魅力，甚至对学习数学失去了信心。深究原因，认不清变式训练的规律，走不出变式的怪圈是一个重要的原因。

例5，已知：如图3，△ABC中，AE⊥BC，垂足为E。AD平分∠BAC交BC于点D。若∠B=38°，∠C=70°，求∠DAE的度数。

这道题重点考查三角形三条重要线段中的角平分线和高的相关知识，可以从角的组合与分解来考虑，即利用 ∠DAE= ∠BAC-∠EAC-∠BAD或∠DAE= ∠DAC-∠EAC来入手，也可以从直角三角形两锐角互余角度来寻求解答，即在Rt△ADE中，∠DAE= 90°-∠ADE。而∠BAD或∠DAC的求法都与∠BAC以及∠BAC的平分线有关，故只需要弄清楚∠BAC的求法和角平分线的定义就可以解决了。

可以将这个反思更深入开展下去，追问“在图3中的△ABC，条件AE⊥BC，垂足为E，AD平分∠BAC交B于点D不变，∠DAE与∠B和∠C有着怎样的数量关系”。因条件不变，故解题的思路和方法也不变，那么，循着以上的解题途径能得出：在∠B﹤∠C的条件下，2∠EAD=∠C-∠B。这样的反思将具体的角度计算推广到一般性的结论，由一道题的解法得到了一组题的解法，不仅完善了知识结构，还培养了学生的问题意识和创新意识。