基于计算协同学思想探究一个双振子弹簧系统

曹 盼

(1. 延安大学物理与电子信息学院，陕西 延安 716000； 2. 延安市安塞区高级中学，陕西 延安 717400)

随着个人计算机性能不断提高和各种实用应用软件的开发,在高中阶段就可以利用计算机对复杂的物理竞赛和高考题做一些有趣的探究.20世纪60年代,科学家在研究“费米-巴斯塔-乌勒姆实验”时发展了一套数值和解析相结合的研究方法,从数值结果和图形显示中获得定性启示,再试图用解析方法给予证明,然后又回来用数值分析检验解析的推论,如此循环往复,步步深入.乌勒姆称之为“计算协同学”[1].

易化物理(ePhysics)是笔者自主开发的一款轻型实用的中学数学物理问题解决工具,具有计算、绘制几何元素和参数曲线、坐标拾取和简单测量标记等功能,支持的4个可变参数可实现动态分析.该软件支持界面交互、命令行交互和脚本批处理3种操作方式,由于脚本是纯文本文件,结合Windows默认的脚本语言VBScript可以作为一个计算物理算法实现工具.

1 问题提出与数值计算设计

双振子弹簧系统是高中物理竞赛和中学物理杂志常讨论的一个模型.文献[2](简称郭文)利用Matlab直接给出两振子位移和速度的解析表达式,然后绘制曲线进行分析讨论,这实际上属于计算机“代数”[1];文献[3](简称于文)采用数值分析的方法,利用运动仿真模拟(可参见文献[4])得到振子的速度图像,并做简要分析.笔者读后深受启发,一是感到郭文在高中有些突然,二是感到于文意犹未尽,恰逢读到“计算协同学”的思想,于是从计算物理实验的角度做了如下研究.

在图1中,物块A、B的质量相等,在物块A上施加一水平恒力F作用,物块B足够长,放置在水平地面上,所有接触面都是光滑的.轻弹簧开始处于原长,运动过程中始终处于弹性限度内,开始时物块A、B是静止的.求物块A、B运动的速度随时间的变化规律.

图1 一个双振子弹簧系统示意图

设A和B的质量分别为m1和m2,本题中m1=m2=m.分别对物块A和B应用牛顿第二定律得

F-k(x1-x2-l0)=m1a1.

(1)

k(x1-x2-l0)=m2a2.

(2)

以上方程组中有交叉项且很复杂,下面用数值仿真的方法计算.算法设计如下:先给定相关参数(质量、弹簧原长、外力和劲度系数等),根据(1)、(2)两式计算两物块的加速度,在“足够短”时间dt内分别计算末速度,用对应的新速度按匀速直线运动计算位移,并计算两物块的位置坐标,画线连接每一小段的速度,最后更新速度进入循环直到条件满足时退出,VBScript操作易化物理的实现程序见表1.

表1 VBScirpt操作易化物理的实现程序

程序采用VBScript有两个优势,一是VB语法(高中数学必修课作为算法实现语言)有广泛的学生基础,二是无需用户安装解释器,文本文件另存为*.vbs双击打开就可运行.经过笔者封装优化后,调用易化物理的只有设置线段wlSetL和画线wlLine两个语句,从以上程序可以看出VBScript和易化物理的结合是很紧凑的.注意VBScript程序不要求先定义,但作为严谨的程序笔者还是倾向于先定义.

2 计算结果数据的深入分析

2.1 计算结果的直观分析

上述程序运行结果如图2,速度图像与文献[3]给出的结果相同.由图2可以看出两条速度曲线周期性相交,交点表明弹簧伸长或压缩到最大,此时两者速度相等可看成整体.观察这些交点落在一条直线上,表明整体总的来讲有一个匀变速直线运动的大趋势,这与质心运动定理的结果是一致的.

图2 两物块的速度图像

图3

周期性容易使人联想到一个弹簧振子,按正弦或余弦规律变化,因此双振子的运动可以看成质心的匀加速直线运动和弹簧引起的正余弦运动的叠加,即v=act+vmsin(ωt+φ0).下面根据易化物理提供的动态参数曲线功能对图像(数值计算结果)进行拟合,得到相关的“实验参数”,这里的实验是计算物理实验,其研究对象是数学模型而不是客观实体,但两者的基本思想是一致的.拟合通常采用的最小二乘法，对很难求解的复杂问题,人们可以根据图像快速判断两条曲线是否重合,这利用了人类知觉具有的结构优势效应,研究表明人在识别外界事物时,物体的整体结构对识别物体本身起到有利的作用[5].

2.2 计算实验数据的获取

在表1VBScript程序中添加绘制动态曲线的代码见表2.

表2

F/(m1+m2) 表示质心加速度(直接利用2.1的结论),k和m是由工具栏两个滑竿直接控制的可变参数(进一步可由方向键微调),b由键盘W/S控制,为了获得参数只需输入显示代码见表3,其中yB控制文本位置,参数k和m分别对应最大速度vm和角速度ω.

表3

先取b=0,保持k(vm)不变，调整好m(ω)使周期一致,然后再调整k(vm)使大小与v1重合,运行结果分别见图4和图5,得符合条件的参数为vm=0.5 m/s,ω=10 rad/s.调整b可知,v2和v1相差相位π.

图4 保持k(vm)不变调整m(ω)

图5 进一步调整k(vm)使重合

为了探究vm和ω的物理意义,利用控制变量的方法分别实验,实验结果见表4、表5和表6.

表4 F=10 N,k=50 N/m,改变m(kg)

表5 F=10 N,m=1 kg,改变k(N/m)

表6 k=50 N/m,m=1 kg,改变F(N)

2.3 实验数据的作图分析

图6

图7

图8

图9

图10

3 代入方程验证猜想解析式

将比例系数和组合物理量代入拟合曲线得

(3)

(4)

两式积分并将初始条件代入得

(5)

(6)

将(3)、(4)式微分得

(7)

(8)

不难证明(5)～(8)式和(1)、(2)两式是等价的.

结论:本文在“计算协同学”的基本思想下利用新型计算软件,以一个双振子弹簧系统为例,从计算物理实验出发,通过数据分析、猜想和证明给出了一种在高中阶段应用计算机探究复杂物理问题的方法.

参考文献：

1 郝柏林,张淑誉. 数字文明:物理学和计算机(第2版)[M]. 北京:科学出版社,2017：142-147,137-138.

2 郭学鹏,姜爱伟. 剪断细线后如何运动——MATLAB数值求解[J]. 物理教学,2017(5)：54-56.

3 于志明. 用数值方法分析两例力学问题[J]. 物理教师,2017(5)：60-62.

4 曹盼. C/C++在分析小气球运动中的应用[J]. 物理教师,2013(12)：68-69.

5 全国十二所重点师范大学编写. 心理学基础(第2版)[M]. 北京:教育科学出版社,2008：119-120.