提升思维品质 发展数学素养——从“高三导数综合应用复习”说起

北京市第一〇一中学 谢 卫 贺丽珍

在高三的教学实践中，求解导数综合问题对学生的思维能力要求较高，是培养学生思维能力的好素材。我们尝试在导数综合问题的教学中通过有效地设计教学过程，逐步引导学生克服思维障碍，打破思维瓶颈，明晰思维过程，提升思维品质。

下面以“高三复习课：导数综合应用复习”为例，来谈一谈如何在高三专题复习课中提升思维品质，发展学生的数学素养。

一、围绕教学目标，精心设计数学问题

若想充分发展学生的数学素养，首先要留给学生充分的思考、讨论、质疑的时间，让生生对话、师生对话充分进行。一节课的教学内容不宜安排太多，应该少而精，选取能充分承载本内容所体现的数学思维特点的问题。比如，本节课只探讨了一个问题。

问题：已知关于x的函数f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）当a=0时，求证：不等式f(x)≤x-1在区间（0，＋∞）上恒成立；（2）若在区间 ［1，＋∞）上，函数f(x)的图象不出现在直线y＝x-1的上方，求a的最大值。

本题改编自2016成都模拟，原题是：

已 知 关 于x的 函 数f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）求函数f（x）在点P（1，0）处的切线方程；

（2）若函数f（x）有极小值，试求a的取值范围；

（3）若在区间［1，＋∞）上，函数f（x）不出现在直线y＝x-1的上方，试求a的最大值．

原题第（1）问是求在（1，0）处的切线，我们对第（1）问进行了改编：证明一个重要不等式ln x≤x-1，无论是把不等式恒成立问题转化为构造函数进行研究的思路，还是这个不等式本身的结论都为第（2）问不等式恒成立求参数取值范围的解决提供思想方法和结论的支持。而且我们发现，很多函数问题都是在这些重要不等式的基础上添加参数形成新的问题，都是由这些重要不等式生成的问题。

改编后的第（2）问的解决方法多样，但研究函数与导数问题解决的特征：分析问题的结构、恰当构建函数、研究函数、解决问题是一致的，而且学生如果能整体分析函数解析式结构，合理作图，整体把握问题，会找到简洁的思路。

在高三复习课中如何精心选择问题、改编问题？有以下几个原则：（1）加强对数学知识本质及联系的研究，把准教学内容的知识结构与要素。这样，才能使所设计的问题具有“数学”性。（2）认真研究学生的思维过程。学习内容不同，学生的思维活动是不同的，认真分析学生的思维过程，才能使所设计的问题具有“思维”性。（3）精心选择问题的起点、层次、跨度，同时注意所设计问题的系统性、整体性，使所设计的问题真正促进有效活动。（4）根据教学内容、学生情况，可以适当对原题进行改编，比如搭建台阶或者提出更加发散的问题等。

课前学生作答情况：

学生对于第（1）问的证明没有障碍，书写也比较严谨规范。对于第（2）问，所有学生都能够将不等式恒成立转化为作差构造函数

大部分学生把问题转化为已知g（x）≤0，x≥1，构造差函数对a分类讨论，求a的取值范围。其中，有一多半学生注意到了可以直接应用第（1）问的结论，得到a≤ 0 时，g（x） ≤ 0 恒成立，但是a ＞ 0 时对每一类的函数特征叙述不清楚，尤其是对于a ＜这种情况，

学生能猜想g（x）≤ 0（x≥ 1）不恒成立，但找不到使得g（x）＞ 0的点，只有三、四名学生说清楚了。另外少数学生由于没有联系第（1）问，导致分类没有思路，其中，有个别学生选择用分离变量的方法构造函数，转化为求新函数的最小值，但由于运算较烦锁，只有一两个同学做完整。

总体来说，第（2）问都写得很烦琐，但基本都没全对，而且在独立完成作业时没有任何一名学生能够从整体把握问题，抓住问题本质，得到最简的解题思路。学生的作答情况反映了思维不够严密，直观思维欠缺、抽象能力偏弱、反思能力不强等数学思维方面的不足。

二、优化教学过程，促进学生主动思维

在课堂教学中，我们通过设计针对性问题，给学生充分思考时间，让学生充分参与，发展学生的数学素养。在实际教学过程中，问题随着课堂进程不断生成和变化，教师要及时调整、反思与总结，以便真正与学生活动相吻合、促进学生主动思维，提升学生各方面的思维品质，发展数学核心素养。

在“导数综合应用”中，根据我们对学生导数问题学习的调研和问题解答，分析得出学生运用导数等工具研究函数的初步性质掌握较好，但在解决函数综合问题时有以下思维障碍：

（1）求导后无从下手，停留在操作层面，直观性思维欠缺；

（2）不能恰当、有效地构建函数解决含有参数的方程和不等式问题；

（3）在解决问题过程中，数学运算能力欠缺。

针对学生在数学思维和能力上的不足，我们设计如下几个教学环节：

（一）直观性思维——数学的感知

第（1）问证明完毕后，我们提了如下问题：

不等式 ln x≤x-1（x＞0）的几何意义是什么？等号成立的条件是什么？

学生画出两个函数的图象（如图1），从直观上看到了不等式的几何意义。

图1

直观性思维是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。因此，每遇到一个代数结构，我们可以引导学生寻找它的几何意义，帮助学生形成直观性思维，从而优化解题过程。

在学生具有了比较好的直观性思维的基础上，解决第（2）问时，把问题转化为“已知 ln x+a(x-1)2≤x-1，求a的取值范围”后，有的学生通过观察、研究函数结构、画出图象，根据图象整体特点，直接得到了答案。

图2

当a=0时，第（1）问已证；求a的最大值，只需看a＞0。当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，在x≥1时，随着x的增大，直线的增长速度保持不变，而抛物线增长得越来越快，所以当x充分大时，f(x) ＞ x-1总是成立，原不等式就不成立。因此，a ＞ 0都不符合，最大值就是0。

这时，教师给予总结：函数图象能够直观形象地表示出函数的变化状态，是我们在解决问题中需要特别关注的。但是不能以图代证，还需要严格证明求解。

（二）特殊到一般——数学的联想

在学生证明了第（1）问的不等式ln x≤x-1后，我们引导学生思考：

（1）你能得到类似的不等式吗？比如，含有ex的不等式？

（2）试一试给这两个不等式添加参数，使得不等式还成立，课后可以继续思考。

学生得到：ex≥x+1（x∈R），从图象上看，是关于y=x对称的反函数，也可以证明，与 ln x≤x-1（x＞0）的证明方法类似。

学生还得到了以下不等式：

命题者很多时候就是在一些重要的不等式或方程中添加参数，构造一个求参数取值范围或证明题，我们平时不妨引导学生主动构造一些新命题，或许能得到许多有趣的命题。

这个环节我们试图挖掘命题者的命题思路，主动添加参数，构造新命题，让学生学会整体把握问题，领悟数形结合、转化与化归、特殊与一般等数学思想。其实，任何一个数学问题的解决实际上是一个不断转化、不断化归的过程，更是一个不断追根溯源的过程；从特殊到一般是数学探究的一条基本途径也是培养学生数学素养、提升学生科学品质的一条有效途径，而培养学生数学素养正是目前学生核心素养培养的一个重要内容。

（三）直观到运算——数学的抽象

如何严谨规范地解决第（2）问呢？在给予了学生充分思考的时间后，学生运用转化思想得到：当a≤0时，问题直接转化为（1）中的不等式；当a＞0时，不等式恒成立，通过作差构造函数 :设g(x)=ln x+a(x-1)2- (x-1)，x≥ 1。

问题转化为：x≥1，g(x)≤ 0恒成立，即x≥ ，gmax(x)≤0，即转化为求函数的单调性和最大值问题。

下面是一个学生给出的解决过程：

数学抽象的实质是把握事物的本质，以简驭繁，对学生抽象思维能力的培养应使得学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。而数学运算实际是一种演绎推理，是解决数学问题的基本手段。

遇到某个数学概念或问题有多种途径时，学会判断选择，寻找最佳途径；遇到代数式，先关注代数结构，利用代数结构中提供的信息选择转化方向；关注运算中的化简与整体意识，寻求并设计合理、简捷的运算途径。我们在教学过程中，应抓住时机进行不同运算方向的比较，使学生体会到数学运算智慧的重要性。

三、关注思维发展，引导学生积极反思

此时，我们似乎已经完美地寻找到了问题的解决方案，但这不是思维培养的最终目标。对问题做进一步的反思能力是数学素养的重要方面，经过反思，往往会有更深刻、更全面的认识。因此教学中，在完成对问题解决的第一个阶段之后，我们要引导学生对问题和解答进行反思。

（一）数学反思之简洁美

有学生发现了这个问题本质上的解法：其实不用求导，就可以解决第（2）问：

该生的解答简洁干练，数学的简洁之美感染了每一个学生，让所有的学生感到震撼！每个学生的眼中流露出的跃跃欲试形成了本节课的第一个高潮。把问题分析透彻之后，整体把握函数结构和图象特征，可以看到问题的本质，提升学生思维高度。爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。对问题进行反思和再认识，让学生的数学素养得到了更深入的发展。

（二）数学反思之思维的多角度

一个学生提出对于第（2）问，他用分离变量的方法解决，过程如下：法则 ) 因此a≤ 0。

我们看到，这个学生没有注意到与第（1）问的联系，把第（2）问作为一个新问题，转化为构造新函数（分离变量的方法）研究函数的最小值，其实，与前面作差构造新函数都是相同的思维过程，都是把不等式恒成立问题转化为构造新函数，研究新函数最值的问题。这种构造方式，优点是把参数完全分离出来，新函数不带参数，不用分类讨论；但像这个问题，新函数较复杂，求一次导数不能完全判断符号，还需要把导函数作为新的函数二次求导。这个问题最后还用到了高等数学里的洛必达法则，感觉没有直接作差来得简单。

教师引导学生分析问题特征，对比几种方法，体会思维的不同角度，并且尽量提炼出几种方法的通性和本质，鼓励学生积极思考、敢于挑战、敢于尝试、严谨分析和推理的数学研究态度。

在这个学生解答的基础上，再次对问题进行反思和认识，发现，分离变量之后不用求导也可行：

这个解答再次震撼了所有学生，让每一个人都很激动，形成了课堂的第二次讨论高潮，学生的思维驰骋在数学课堂中，数学思维得到了升华……

以上是笔者结合高三一节专题复习课的案例对在教学中充分发展学生数学素养的探讨。当然，数学思维不止是以上几个方面，通过一节课也不能使学生所有的数学素养得到全面发展。但是，只要教师坚持有意识地在每一节课中去渗透，以问题为载体引导学生不断思考、不断提出问题以达到不断优化的目的，引导学生用数学的思维思考数学，学生通过不断地实践，数学素养和数学思维品质也定能得到相应的提升。

参考文献

［1］张鹤.数学教学的逻辑——基于数学本质的分析［M］.北京:首都师范大学出版社,2016.

［2］任子朝,陈昂.加快高考内容改革,增强基础性和综合性［J］.数学通报,2016,55(6).