一道含参不等式恒成立问题求解探究

李志忠

【摘要】含参不等式恒成立问题是一类综合性考题，它将函数、方程、不等式、导数这些知识点有效结合，使此类问题变化多端、具有极强的思辨性.鉴于上述特点，此类题型已经成为高考的“必考题”，且往往作为大题的形式出现.本文通过对一道含参不等式恒成立问题进行深入探究，帮助学生规避求解误区，实现有效解题.

【关键词】含参不等式；恒成立；解题策略

学生受到长期解题套路灌输的影响，拿到含参不等式恒成立问题的第一想法就是求导.命题者也是看到了学生们的思维误区，在高考命题时偏向于设计超越函数，在多次求导后依然无法有效求解.对此，我将从一道高考题的变式入手，对其中的求导思路进行分析，提出解决此类题型的有效策略.

对于本变式而言，解题关键在于函数g（x）=xlnx+px2-p的处理上.学生1、2的求解过程，他们采用的是常规含参不等式恒成立问题的求解策略，即采用求导的方式.从解题技巧上，这样的处理并不存在问题.但是在求导分析后，一次次地出现了超越函数.此時，学生们就应该揣摩出题者的意图，可能这里并不是考查学生对求导技巧的使用.就如有效求解策略所示，本题采用的是分类讨论的方法.

总之，含参不等式恒成立问题是一类重要的考点，且极具难度和挑战性.值得注意的是，当常规求导难以使用时，不妨尝试返璞归真，利用最基础的数学分析手段，结合分类讨论、常规分析的思路，对解题过程进行重新的审视.