有理可依的放缩法

金晶

[摘 要] 能求和的数列和式中的项具备着自身的特征，如等差数列、等比数列、差比数列、周期数列等. 不能求和的数列和式的项不具备这些特征. 我们以这些特征为转化目标，以学过的知识为桥梁，逐项放缩，从而证明数列不等式成立.

[关键词] 数列放缩法；放缩适度；放缩原理；有法可依

放缩法证明数列不等式是数列中的难点，它题型灵活多变，技巧性高，使学生们望而生畏.

放缩法针对的题型是不能直接求和，需要通过逐项放缩才能求和的和式不等式. 放缩法解题的难点是放缩的技巧，常出现的问题是放缩过度. 前面的问题可以通过一些典型例题的解答模仿放缩技巧、探究放缩原理，从而做到以不变应万变. 后面的问题有两个解决方案：修改放缩方法；保持一部分项不放缩.

■转化为能拆项相消求和的和式

例1 证明：1+■+■…+■<2.

解法1：因为■<■，n≥2，

所以1+■+■…+■<1+■+■+…+■=1+1-■+■-■+…+■-■=1+1-■<2.

解法2：因为■<■=■，n≥2，

所以1+■+■…+■<■+■+■+…+■

=4■1-■+■■-■+■■-■+…+■■-■=21-■<2.

同理：利用■→■=■-■，配合个别项不放缩，都可以证明原式.其中，由a的值决定 “→”表示“<”还是“>”.

如：由■<■=■=3■-■，

若从第一项开始放缩得

所以1+■+■…+■<31-■+■-■+■-■+…+■-■=31-■

則不能得到要证的结果. 若保持第一项不放缩，从第二项起开始放缩，得

1+■+■…+■<1+3■-■+■-■+…+■-■

=1+3■-■=■-■<■<2，所以原式成立.

类似的还有：

立方型 1+■+■…+■

放缩方法■→■=■■-■，

其中，由a的值决定 “→”表示“<”还是“>”.

根式型 ？摇1+■+■…+■

放缩方法2（■-■）=■<■=■<■=2（■-■）.

指数幂加常数的分式型？摇 ■+■+■…+■

放缩方法■=■→■=■■-■，其中ab≠0且a≠1，根据b的符号决定“→”表示“<”还是“>”.

例如 求证：■+■+■+…+■<■.

分析：第一项不放，否则放缩过度.

解：因为■=■<■=■■-■，

所以■+■+■+…+■<■+■■-■+■-■+…+■-■=■+■■-■=■-■·■<■.

■转化为能用公式求和的和式

例2 （1）证明：■+■+■+…+■<1.

证：因为■<■，

所以■+■+■+…+■<■+■+■+…+■=■=1-■<1.

（2）证明：■+■+■+…+■<2.

证：因为■=■≤■=■■，

所以■+■+■+…+■≤1+■+■■+…+■■=■=21-■<2.

（3）证明：■+■+■+…+■+<■.

证：因为■=■≤■=■■，

所以■+■+■+…+■≤1+■+■■+…+■■=■=■1-■<■.

（4）证明：sin■+sin■+sin■+…+sin■<■.

证：因为sinα<α，0<α<■，

所以sin■+sin■+sin■+…+sin■<■+■+■+…+■

=■=■1-■■<■.

放缩法的技巧很多，有无数变化，还常有新技巧出现，不可能一一列举.正如庄子说：吾生也有涯，而知也无涯，以有涯随无涯，殆已. 以有限的生命去追求无限的知识，是无法成功的.

那么我们应该怎样学习放缩法呢？从例题的解答中发现，对于不能直接求和的数列，是通过逐项放缩后求和，再证明不等式成立的. 由此可知，放缩法的难点在于把不能求和的和式放缩为能求和的和式，而数列求和的常用方法主要是公式法、分组求和、拆项相消、错位相减、倒序相加等，这些方法针对的数列的项具有各自的特征，这就是放缩法逐项转化的目标，我们顺着这个方向分析题目所给和式中的项，借助学过的知识，思考出放缩方法.

同时在平时的学习中我们要不断积累放缩技巧，静心体会，厚积薄发.就如一个剑手需要练熟基本动作，才可以由基本动作组合成无数剑招，方能见招拆招，无招胜有招.