两个三角竞赛题的解法探究

唐志忠

[摘 要] 利用“加零”法完成兩个三角竞赛试题的解答，并通过一般形式的研究，总结出解决此类问题的一般方法.

[关键词] 两个三角竞赛题；另解；一般形式；“加零”法

■题目呈现

题1：已知α为锐角，求证：■+■≥8.

题2：设x∈0，■，求函数y=■+■的最小值.

题1是2010年第五届联盟杯数学竞赛试题的第9题，命题组给出的答案是利用导数进行证明. 文献1作者是通过构造与■+■般配的因式来加以证明，并得出了此类问题的推广. 题2是2007年全国数学竞赛湖北预赛试题的第10题，命题组给出的标准答案是通过引入待定正常数，运用含参均值不等式进行解答. 文献2的作者则是利用柯西不等式给出了这个问题的简解，过程尽管较为简洁，但技巧性较强，学生难以掌握.

■试题另解

题1的证明：利用sin2α+cos2α=1，将所求代数式加上一个零元，则

■+■=■+■+λ（sin2α+cos2α-1） =■+■+λsin2α+■+■+λcos2α-λ

≥3■+3■-λ =3■+3■-λ=12■-λ，

当且仅当λsin2α=■，λcos2α=■时不等式取等号，

再由sin2α+cos2α=1，得λ=4，则■+■≥8.

题2的解答：利用sin2x+cos2x=1，将所求函数加上一个零元，则

y=■+■+λ（sin2x+cos2x-1）=■+λsin2x+■+■+λcos2x-λ≥2■+3■-λ=15■+3■-λ，

当且仅当■=λsin2x，■=λcos2x时，不等式取等号.

再由sin2x+cos2x=1，得■+■=1？圯λ=64，因此可得y=■+■的最小值为68.

■问题延伸？摇

以上两个三角竞赛试题都是通过“加零”法来完成的. 下面，我们再用此法来解答文[1]所给出的此类问题一般形式的一个结论：

命题？摇f（α）=■+■a，b>0，0<α<■的最小值为（■+■）■.

证明：？摇f（α）=■+■+λ（sin2α+cos2α-1）

=■+■+λsin2α+■+■+λcos2α-λ

≥3■+3■-λ

=3■+3■-λ=3■■·（■+■）λ■-λ，当且仅当λsin2α=■，λcos2α=■时不等式取等号，则

sin3α=■，cos3α=■ ？圯sin2α=■■，cos2α=■■，？圯2λ=（a■+b■）■？圯λ=■，

则3■■（■+■）λ■-λ=（■+■）■，因此，命题得证.

从以上解题过程可以看出，此类问题，都可以通过加上一个合适的“零元”，利用均值不等式来完成做答. 其解题模式确定，程序规范，便于操作且具有普适性，值得我们加以研究并掌握.

参考文献：

[1] 余小芬，刘成龙. 一道竞赛题的另证[J]. 中学生数学，2012，8上.

[2] 侯典锋. 一道预赛题的简解[J]. 中学生数学，2012，8上.

[3] 查正开. “加零”法的应用[J]. 数学教学，2015，7.