两个简单问题与直线的参数方程

苏克义

[摘 要] 从两个简单问题出发，着眼于学生的认知过程，引导学生自然而轻松地学习直线的参数方程.

[关键词] 直线；参数方程

问题1：已知直线l的参数方程为

？摇？摇？摇？摇？摇？摇l：x=1+■t，y=2+■t.

圆O的直角坐标方程为：x2+y2=2， 求直线和圆的两交点A，B之间的距离和线段AB中点M的坐标.

问题2：已知直线l的参数方程为

？摇？摇？摇？摇？摇？摇l：x=1+t，y=2+t，

圆O的直角坐标方程为：x2+y2=2， 求直线和圆的两交点A，B之间的距离和线段AB中点M的坐标.

对问题1，学生甲首先想到的思路是，把l的参数方程转化为直角坐标方程：y=x+1，然后代入圆O的直角坐标方程，得2x2+2x-1=0，解得两交点的坐标为

A-■-■，■-■， B-■+■，■+■，

AB=■，M-■，■.

问题2和问题1的结果完全相同.

学生乙认为AB可以用弦长公式计算.

x1+x2=-1，x1x2=-■，

AB=■■=■■=■.

学生丙认为AB可以用勾股定理计算.

圆心O到直线l的距离

d=■=■，

则

AB=2■=2·■=■.

学生丁认为直接用直线的参数方程可以求解.

问题1的求解：将直线l的参数方程代入圆O的直角坐标方程得

1+■t■+2+■t■=2，

即

t2+3■t+3=0，

则

？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 t1+t2=-3■，t1t2=3，

所以

AB=t1-t2=■=■.

线段AB中点M对应的t为

t=■=-■，

所以

x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■，

所以M的坐标为：M-■，■.

问题2的求解：将直线l的参数方程代入圆O的直角坐标方程得

（1+t）2+（2+t）2=2，

即

2t2+6t+3=0，

则

t1+t2=-3，t1t2=■，

所以

AB=t1-t2=■=■.

线段AB中点M对应的t为

t=■=-■，

所以

x=1+-■=-■，y=2+-■=■，

所以M的坐标为：M-■，■.

上述解法对问题2中AB的计算出现了错误.

■引发的思考

直线的参数方程不唯一，有无数种，可划分为标准形式和一般形式.

1. 标准形式

过点M（x0，y0）且倾斜角为α的直线的标准形式参数方程为

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t为参数）

在标准形式之下，t对应直线上的点P（x，y），t1对应A点，t2对应B点，则PM=t，AB=t1-t2，线段AB的中点对应的t=■.

（2） 一般形式

x=x0+at，y=y0+bt，（t為参数且a2+b2≠1）

可以将一般形式化为标准形式

x=x0+■t′，y=y0+■t′，（t′为参数）

其中t′=■×t.

设t′对应直线上的点P（x，y），t′1对应A点，t′2对应B点，则有

PM=t′=■t，

AB=t′1-t′2=■t1-t2，

线段AB的中点对应的t′=■=■.

其中t′1=■×t1，t′2=■×t2，

现在对问题2用题目给出的参数方程进行正确求解：将直线l的参数方程代入圆O的直角坐标方程得

（1+t）2+（2+t）2=2，

即

2t2+6t+3=0，

则

？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇t1+t2=-3，t1t2=■，

将直线的参数方程化为标准形式

x=1+■t′y=2+■t′

则？摇？摇？摇？摇？摇？摇

AB=t′1-t′2=■t1-t2=■■=■.

若用直线的标准形式参数方程求线段AB中点M的坐标，则M对应的t′为

t′=■=■ = ■=-■.

所以

x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■，

所以M的坐标为：M-■，■.

若用直线的一般形式参数方程求线段AB中点M的坐标，则M对应的t为

t=■=-■.

所以

x=1+-■=-■，y=2+-■=■，

所以M的坐标为：M-■，■.

通过上述分析，使学生对直线的参数方程有了清楚的认识，整个认知过程水到渠成，自然舒适.