论一道好题的知识汇聚力和发散力

沈雪清

[摘 要] 向量是浙江高考中非常重要的内容，由于题目灵活，知识跨度大，是学生非常头痛的题型. 但是只要认真总结，还是可以找到这类题型的主要解题思路和解法. 事实上，对于向量问题只要从代数角度和几何角度两方面切入，再结合向量的概念和几何意义，总能找到破解之法.

[关键词] 向量；代数思想；几何思想；结合应用

[案例] 已知向量a，b满足a-b=a+3b=2，求a的取值范围.

此题总体难度不高，学生初见它时会觉得眼熟亲切，与平时所练的向量题大同小异，但是当翻出海量的向量储备知识后，发现搞定它并不轻松. 本文从代数和几何两条主线切入分析，挖掘了多种解法，并适当拓展、变式、类比，达到了全方位复习向量知识的目的，将向量知识体系中的各个要点一一展现，展现了此题的独特魅力.

■代数思想

解1（绝对值不等式法）：一方面：3a-3b=6，a+3b=2，

所以3a-3b+a+3b≥（3a-3b）+（a+3b）=4a，

即8≥4a，a≤2. 当且仅当a-b与a+3b同向共线时取等号.

另一方面：3b-3a=6，a+3b=2，

所以3b-3a-a+3b≤（3b-3a）-（a+3b）=-4a，

即4≤4a，a≥1.

点评：绝对值不等式和向量的完美结合，成就了此题的完美解法. 知识跨越度较大，学生较难想到这种处理方法.

解2（换元法）：令m=a-b，n=a+3b，则a=■n+■m，b=■n-■m，

且m=2，n=2.

所以a2=■n+■m■=■n2+■n·m+■m2=■+■cosθ∈[1，4].

即：1≤a≤2.

点评：引用了反解法的思想，换位思考，角度独特，有种“在向量中又跳出向量的圈子”的感觉，非常漂亮地处理了这个问题，并且此法可以同时解决下列问题：

（1）求b的取值范围；

（2）求xa-yb（x，y∈R）的取值范围；

（3）已知x1a+y1b=m，x2a+y2b=n，求a，b取值范围.

■几何思想

解3（构造圆的轨迹）：由a-b=a+3b=2，可得动点G的轨迹是圆，所以P的轨迹也是圆，圆心■，0，半径r=■，所以POmin=■-■=1，此时a，b反向共线，POmax=■+■=2，此时b=0.

点评：构造动点的轨迹，根据G的轨迹得到联动点P的轨迹，由圆的知识解决了最值，还可以非常直观地看到取得最值时a，b的关系和值，构图巧妙，形象直观.

解4（构造动态三角形）：如图2所示，3BO=OC，且M为BC的中点，所以AM⊥BC，AB=AC=2，所以当固定BC，A沿MA无限向上运动，得到amax=2，此时b=0.当固定点A，BC无限靠近A点，得到BCmax=4，此时A与M点重合，amin=1. 此时a，b反向共线.

点评：构造三角形，然后根据动点动态，找动态极限位置，从而求得a的最值.

解5（构造平行四边形性质）：如图3，M是BC的中点，O是BM的中点，则AB=2，AC=2. 设AM=x，MC=y，则：x2+y2=4（1），0≤x≤2，根据平行四边形对角线与边长关系法则：（2a）2+y2=（x2+4）×2（2）.

由（1）（2）可得：4a2=3x2+4∈[4，16]，

所以1≤a≤2. 当x=0时取最小值，当x=2时取最大值.

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图3

点评：构造平行四边形，利用平行四边形边长与对角线关系式，求得a的函数关系，从而求解.

■几何思想与代数思想结合应用

两边平方得：a2-2a·b+b2=a2+6a·b+9b2=4，所以8b2=-8a·b=-8a·bcosθ，即b=-acosθ（cosθ≤0）.

如图4可得到重要的几何结论（投影）：a在b的投影与b长度相等，方向相反（即O是BC的中点，AC垂直BC）.

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图4

解6（函数思想）：根据上述投影的结论，如图所示，BO=OC，在△OAB中，由余弦定理：4=a2+a2cos2θ+2a2cos2θ，所以a2=■∈[1，4]，

所以：1≤a≤2. 当cosθ=0时取到最大值，当cosθ=-1时取到最小值.

点评：发现了a，b投影之间的结论，就从另一个角度打开了解题的思路，在三角形中利用余弦定理，建立函数关系求最值.

解7（建系法）：以C为原点建立坐标系，设A（0，t），B（s，0），O■，0，则AB2=s2+t2=4（0≤s≤2） ，

所以a2=AO2=■+t2=4-■s2∈[1，4]，所以1≤a≤2.

点评：建系法是向量中常用的方法，化几何为代数，可以免去找几何关系之苦.

本题可以用以上7种方法解答，从代数思想切入时，涉猎了绝对值不等式、换元思想、建系法、函数方程值域等知识.从几何思想切入时，从构造轨迹、临界分析、几何性质等角度分析，尤其是投影关系的发现，更是打开了多种解法的另一个方向.

■拓展应用

[拓展应用一]？摇向量的投影

利用投影，可以把复杂的向量问题图形化、简易化，从而可以秒杀题目，是很多优秀学生解决向量问题的秘密武器，也是高考复习阶段教师重点传授给学生的解题绝招.下面来看几例近几年的考题.

[拓展案例1] （2014年金华市二模第17题）？摇：？摇如图5，已知AC=BC=4，∠ACB=90°，M为BC中点，D是以AC为直径的圆上一动点，则■·■的最大值是_____.

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图5

解：■·■=DC·AM·cosθ=DC·DF=DC·（DC+CF）=4cosα（4cosα+2sinα）=16cos2α+8cosαsinα=8（1+cos2α）+4sin2α=8+4■sin（2α+φ），■·■的最大值为8+4■.

[拓展應用二]？摇向量的极化恒等式

向量数量积有一种几何形式，广泛使用在各种考试中，可以破解很多难题，我们称之为向量的极化恒等式，如图6，a·b=■[（a+b）2+（a-b）2]，即a·b=AM2-BM■.

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图6

[拓展案例2] （2013浙江理科第7题）：在△ABC中，P0为线段AB上一点，满足P0B=■AB，且对于AB上任意一点P，恒有■·■≥■·■，则（ ）

A. ∠ABC=90°

B. ∠BAC=90°

C. AB=BC

D. AC=BC？摇

解：■·■=PM2-BM2，■·■=P0M2-BM2，所以PM≥P0M，所以P0M⊥AB.

取P为AB的中点，由P0B=■AB，得P0为BP的中点，所以MP=MB，所以AC=BC.

一道好题犹如知识海洋中的一盏指明灯，引领着属于它的船只遨游和聚拢.在向量的知识海洋中，这样一道题，集结了向量知识体系中的多个关键点，既完美地诠释了向量的基本概念和基本意义，又旁征博引了其他知识体系的美妙应用. 从试题的角度看，可以全面考查学生的综合数学能力，从教师上课角度看，可以全方位剖析此题，成为复习向量知识的优质课堂例题，使师生在繁重的高三复习和题海战术中，得到一次营养丰富的滋补. 所以一道好题充满了知识的汇聚力和发散力，极其珍贵，且用且珍惜！