通过“以问启思”，培养学生数学思维

高远

[摘 要] 高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一. 学生数学思维的发展对问题的解决有很大的作用. 通过“以问启思”，可以促使教师设计有效的问题，启发学生高效思考，从而促进数学思维的发展，提升学生的思维品质.

[关键词] 高中数学；以问启思；数学思维

加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操. ”《普通高中数学课程标准》（实验）中指出，培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、培养全面数学能力的主要途径，因此，高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一. 我们还要认识到，“提出问题”是我国数学教育中的一个薄弱环节，我们的学生会做现成的题，但是不会提问题、不善于提问题. 由此反观高中数学课堂，笔者以为“问”是不可忽视的，只有有效的提问，才能打开学生的思维空间，激活学生的思维欲望，培养学生的思维能力. 基于这一思考，笔者以高中数学教学为例，谈谈如何在“以问启思”的实践中培养学生的数学思维能力.

■“以问启思”的价值内涵

“以问启思”的语境中，“问”通常是指问题，而“思”则是指学生的数学思维发展，其中的“启”，则是一种发挥机制. “问”通常有两个方面：一是教师面向学生提出的问题，二是学生自己问出的问题. 在“以问启思”的逻辑中，“问”是“思”的载体，前者要对后者有“启”的作用，载体首先得有丰富的价值内涵，最起码的，一个问题一定要有明确的指向，且能够让学生的思有所依.

譬如在函数概念的学习中，要让学生有效地判断哪些对应是函数，那就要让学生在一定的事例分析基础上去归纳、总结. 于是笔者给学生呈现了（苏教版教材必修一第25页）例1：（1）x→■，x≠0，x∈R；（2）x→y，这里y2=x，x∈N，y∈R. 让学生判断这种对应是不是函数. 在学生思考的时候，他们重点思考的就是给出的对应中，根据函数的定义域和对应法则，要看每一个输入值x在其定义域内的每一个值是不是能够确定唯一的输出值. 学生清楚地回答出在（1）中，任意一个输入值x都有一个唯一的值与之对应，因而是一个函数；（2）中的一个输入值x，会出现两个y值对应，因而不是函数. 笔者又继续举例：A=N，B=N*， f：x→y=x-2. 学生对于这个对应就产生了争议，看来他们对概念的理解还是有偏差的. 最后学生自己归纳得出的结论是：要判断从集合A到集合B的对应是不是函数，还是要紧紧抓住函数的概念，A中的x不能有剩余，在B中有y与之对应并唯一，可以多对一，但不能一对多，此外还要注意特殊值的分析等. 可见学生对函数这一概念的真正理解、掌握和运用是需要一个过程的，必须要自己深度反思才能深刻理解.

从这个角度讲，“以问启思”的价值内涵不在于花哨的情境与肤浅的活动，而在于学生的思维围绕数学学科的特点进行充分的理性思考，以促进自身的数学思维不断发展与完善. 只有学生的数学思维发展了，那包括数学抽象、逻辑推理与数学建模在内的核心素养的培育也就有了坚实的基础. 故而在高中数学教学中，教师要立足于有效地“问”去发展学生的数学思维，这样才能让“启”具有面向学生思维的意义.

■“以问启思”的实践途径

1. 寻找学生的最近发展区

“以问启思”的教学中，体现教师教学水平并能发现学生数学思维发展水平的环节在于“启”，因为问题提出之后，学生的思维并不总是能够立即附着到问题之上的，很多时候还需要教师的引导、启发，有时候还需要临时生成一些更为细小的“子问题”来辅助主要问题的提出与理解，这样才能保证“以问启思”的过程的高效性. 比如在复习“直线与圆的位置关系”中研究直线与圆相切问题时，从基础的求切线方程和切线长入手，进而研究有关最值和定点问题.

例：已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.

（1）若P点的坐标为1，■，求直线PA的方程；

（2）求切线长PA的最小值；

这两问涉及求切线方程和切线长，学生能自己独立解决. （强调不要漏掉斜率不存在的情形）

变式1：求四边形MAPB面积的最小值.

此问是对第（2）问的一个强化训练，学生可以解决.

变式2：若P点的坐标为1，■，求两切点AB（切点弦）所在的直线方程.

师：如何解决？？摇

生：数学结合，画圆和直线.

师：用什么知识点解决呢？

生：PM垂直平分AB，直线的斜率可求，但是找不到点.

師：是有困难，解决不了，这样吧，我们先看看下一问吧！

（3）求证：经过A，P，B三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

师：第（3）问要考虑这样的一个圆，这个圆到底有什么特点呢？看能不能借助初中的几何知识来解决呢？学生思考，课堂安静.

生：原来是P，A，B，M四点共圆啊！

这样，第（3）问和变式2就都可以解决了，切点弦方程就转化成两圆的相交弦方程. 在这里，教师提问，引导学生发现问题的突破口，实现这一目的的关键就是寻找了学生的最近发展区，先解决第（3）问，再解决变式2，有针对性地教学，使学生真正得到发展.

2. 设计梯度化的“问题串”

继续上一个例题第（4）问：若∠APB=60°，试求点P的坐标.

这一问学生可以解决，再看其变式.

变式3：若圆M上存在两点S，T，使∠SPT=60°，求点P的纵坐标m的取值范围.

师：读题时需要把哪些字圈出来呢？如何分析呢？

其实只需要教师这样一问，学生的思维就会在“存在”两个字上下功夫.

生：如何才能够在圆上一定存在这样的两个点呢？

利用极端思想考虑相切时的情形，这个问题也就迎刃而解了. 在上面的例子中，学生对一个问题的思维常常是处于离散状态的，也就是说他们在面对个别事例的时候，通常能够做出比较准确的判断，但大脑里就是缺乏一个整体的认识. 尤其是在初学阶段，这样的现象非常明显，这个时候就需要教师以更为根本、细节的问题，组织成一系列的梯度化的“問题串”来有效地培养学生的问题意识，引领学生主动探求，提高数学思维.

3. 实现学生的深度学习

师：通过上面的一系列题，你们能自己思考，自己提问题吗？你觉得点P在直线上运动的过程中还有什么问题可以研究吗？小组讨论，自己编题目，自己解答.

学生要回答这样的问题，比解题的思维层次更高，一定要深入思考，才能提出新问题. 最后在师生的努力下，学生提出的问题如下：求∠APB的最大值； 求■·■的最小值；求AB中点的轨迹，等等.

笔者以为，学生能够经由自己的思考得出这些认识，就说明以上述问题来撬动学生的思维是有效的. 这样的“以问启思”的过程，使得相关知识得到了巩固，数学思想方法得到了进一步提升. 有挑战，有思辨，才有深度. 课堂上注重思维互动，比如学生的分析、讨论、探究、展示等，可以促进深度学习，是培养学生思维能力的有效途径.

■“以问启思”的自我评价

总结上述实践过程，可以发现教师设计的问题对学生思维的方向影响是非常大的. 我们通常所强调的主导作用在“以问启思”的学习过程中，主要就体现为问题的设计. 当然，很多时候问题也是由学生提出的，这种情形之下学生更容易深入思考，且对自身思维水平的促进更为明显，不过这也取决于学生所提出的问题在不在自己的解决范围之内，这个时候“最近发展区”理论也就起作用了.

要重点强调的是，在“以问启思”的教学实践中，学生的自我评价非常重要. 笔者通常指导学生围绕这样的几个问题进行：第一，教师为什么会设计这样的问题？第二，面对这样的问题，最佳思维方向在哪里？（即思考用哪方面的数学知识来解答）第三，自己思考过程中出现了哪些不足？应当如何矫正？事实证明，这样的自我反思，常常可以让学生对问题本身有更多的思考，从而避免了学生只顾追求正确答案而忽视了问题思考过程的不足. 高中阶段的学生处于高度理性的思维阶段，这样的自我反思可以让学生对自己思维的质量有高度重视，这实际上也是培养数学思维的重要组成部分.

总之，高中数学中坚持“以问启思”，可以有效地培养学生的思维广度与深度，可以提升学生的思维品质，因此应当是数学教师重视的研究领域.