以二次函数教学为例谈初高中数学衔接教学

李正星

[摘 要] 初高中数学教学衔接虽然并不是教学过程中出现的新问题，但很多教师在这个问题的处理上却也并不尽如人意. 借助二次函数这一知识点的教学过程实录，将初高中数学教学衔接的旧知回顾、问题探究、衔接点把握以及教学方式进行了深入的探究和实践性的思考.

[关键词] 初高中数学；衔接教学；二次函数

初高中数学教学衔接对于广大教师来说一直是被重点讨论的问题，二次函数又是初高中数学教材中均列为重点的函数，提及初高中数学的衔接自然避免不了二次函数的教学，本文结合高一年级二次函数衔接教学的公开课案例进行主要的分析与思考.

■教学过程实录

1. 回顾旧知，引出问题

问题1：已知点A（1，-4）是某二次函数图像的顶点，该图像在x轴上截得线段记作MN，长为4，请问：该二次函数解析式是怎样的？

设计意图：回顾二次函数解析式的形式及图像性质

一般式与顶点式是大多学生选择解题的方法，不过还是有少数学生联想到了二次函数图像的对称性，并以此确定了M（-1，0），N（3，0），同时设所求函数解析式为f（x）=a（x+1）（x-3），因f（1）= -4，所以a=1. 教师应引导学生对二次函数的性质进行合理的利用并因此减少不必要的运算.

2. 问题探究

问题2：已知二次函数y=f（x），该函数图像关于直线x=m对称，如用函数符号对这一性质进行刻画应如何表达？

设计意图：函数符号的描述在初高中是存在明显差别的，这也正是高一新生函数学习中的一个难点.但是这个问题考虑了初中所学二次函数的内容进行了设计，更加符合高一新生在二次函数学习中的思维水平与习惯.为了使学生的思维更加顺畅，教师又设计如下问题：

问题2.1： f（-1）与f（3）在问题1中表现出了怎样的关系？

生1： f（-1）=f（3）.

问题2.2：若图像上有任意一点M（x0，f（x0）），该点关于直线x=1的对称点为N，试求N的坐标.

生2：N（2-x0，2-f（x0）），因为M，N关于直线x=1对称，则f（x0）=f（2-x0）.

问题2.3：若有M（1-x0，f（1-x0）），试求N的坐标.

生3：N（1+x0，f（1+x0）），且有f（1-x0）=f（1+x0）.

生4：图像关于直线x=m对称需满足：f（m-x0）=f（m+x0）或f（x0）=f（2m-x0）.

师：二次函数改为一般函数，以上结论能成立吗？

生5：在得出结论的过程中，函数具体的解析式未曾使用，所以，以上结论能成立.

巩固练习：已知f（x）=2x2-ax+2013，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=____.

问题3：如果问题1中顶点A的坐标是（m，-4），则当m变化时，该函数图像的开口方向会变化吗？大小呢？请证明.

设计意图：（1）二次函数在初高中阶段的最大区别正在于其静态、动态的呈现，此问题的设计实现了二次函数由静态升级到了动态的过程；（2）使学生从初中阶段的直觉认知上升为高中阶段的理性推理.

学生证明过程如下：

证明：因为MN=4，可设M（m-2，0），N（m+2，0），则f（x）=a（x-m+2）（x-m-2），又因为f（m）=-4，故a=1，所以，该函数开口方向与大小都不变.

问题4：已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

设计意图：（1）强化函数、方程、不等式这三者之间的转化这一高中二次函数学习的重点；（2）使学生对于参数的理解与处理能够更加深化.

众多解法中学生首先想到的是以下解法：

因为f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域是[0，+∞），故可得b=a2①. 因为f（x）

教师引导学生通过问题3与4之间联系的思考进行了其他解法的尝试.

解法1：因为f（x）=x2-2ax+b的二次项系数是1且不会改变，值域是[0，+∞），将函数y=x2的图像沿x轴平移，即可得到该函数图像，因此，可设f（x）=（x-m-3）2，又由题意知c=f（m）=（m-m-3）2=9.

解法2：f（x）=x2-2ax+b的值域为[0，+∞），将函数y=x2的图像沿x轴平移，即可得到该函数图像，不等式f（x）

巩固练习：已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域是[2，+∞），关于x的方程f（x）=c的解集是{m-1，m+3}，求实数c的值.

■初高中教学衔接的思考

初中生进入高中以后出现成绩的两极分化既有学生学习态度等主观因素，又有初高中数学知识所存在的客观差异. 结合教学实践与师生访谈，笔者有如下建议：

1. 增强教学衔接的意识

真正能够处理好初高中数学教学衔接的教师不是很多，事实上，有几种倾向是需要高中数学教师尽量克服的.

（1）本位主义

有些教师存在学生初中没有学好的主观认识，事实上，这是推卸责任的表现. 高一新生即使在数学学习上感觉困难是因为初中基础薄弱，教师也应该仔细衡量学生的水平情况并做出科学、合适的调整.

（2）经验主义

初高中学校的独立使得很多高中教师不可能有初中教学的经历，偏偏还有很多教师对于初中数学课标以及教材都没有主动关注与研究的意识，初中教材又会时常根据教学的形式以及学生的成长做出必要的改变，这就造成很多教师对于高一新生数学教学的起点不能精准把握. 比如，高中教师在面对初中数学教学中要求相对较低的十字相乘法、韦达定理、特殊角的三角函数值等等内容时，往往会把学生的认知程度定位得更高，在高中阶段这些内容的教学中往往会比较轻率，初高中教學的脱节也就自然产生了.

2. 把握“衔接点”

笔者认为，以下两个教学“衔接点”是初高中数学教学中需要重点把握的.

（1）数学知识的“衔接点”

初高中数学在知识层面自然是存在着千丝万缕的内在联系的，比如函数的定义、二次函数、三角函数、平面几何以及立体几何等等知识体系都有如此的体现. 因此，初高中教材中的逻辑结构这一关键是需要高中数学教师认真钻研的，这一研究能使教师尽快找出初高中教材在知识层面的联系. 比如，教材虽然未将二次函数这一知识体系进行独立编写，但这一内容却不仅仅是高考的重点，在初高中数学联系这一层面上也是最为典型的. 教师在二次函数的教学中往往可以通过二次函数解析式的求解将学生初中所学的基础知识进行回顾，并因此将二次函数的图像及性质进行升级与强化，从而对学生进一步学习函数性质起到衔接与促进的作用.

（2）思维方法的“衔接点”

如果有心对高一学生进行观察与调研的话，我们不难发现高一学生在数学学习上的最大困难往往表现在初高中思维方式的差异上.很多时候，初高中教学衔接的最大问题便是教师对高一新生思维起点的把握不够精准. 直观与形象是初中数学课堂教学比较注重的，抽象思维训练在初中数学教学的课堂上，即使是初三数学教学的课堂上都是比较少见的，甚至出现了很多优秀学生“陪读”的现象. 因此，笔者在本课的教学中尤为注重学生思维“衔接点”的关注，对二次函数性质的符号表示上注重由形象到抽象的衔接，在对称性结论的讲解中注重由具体到一般的衔接等等. 学生思维上的自然过渡与提升在这样能够注重衔接的教学设计中得以逐步实现，学生对函数性质抽象描述的理解在这样精心的设计与衔接教学中也得以顺利达成.