例析导数压轴题中严格不等式的证明

2018-05-09贺航飞唐盛彪

李宁贺航飞唐盛彪

(海南省海南中学 571158)

资金项目：本文为海南省教育科学“十三五”规划立项课题《基于云平台教学的数学特优生校本课程开发实践》(课题编号：QJZ13516009)研究成果之一.

严格不等式f(x)>g(x)的证明是导数压轴题中一类常见的问题. 这类问题的表达式中通常会混合多种类型的函数，解法灵活且具有一定的难度，能很好考查学生的洞察力.

例题当x>0时，证明不等式：ex>lnx+2.

本文以此题为例，从不同方向入手探索这类问题的解题策略.

一、借助隐零点估计最值来证明f(x)-g(x)>0

要证明f(x)>g(x)，只需证明f(x)-g(x)>0，此时只要求出f(x)-g(x)的最小值与0比较即可. 但是通常导函数的零点不能求出，可以对零点采取设而不求的策略来估计f(x)-g(x)的最小值.

又当x∈(0,x0)时，h′(x0)<0；当x∈(x0,+)时，h′(x0)>0. 从而x0是h(x)的极小值点，也是最小值点，即

变式1 当x>0时，证明不等式(x-2)lnx+1>0.

又当x∈(0,x0)时，f′(x0)<0；当x∈(x0,+)时，f′(x0)>0. 从而x0是f(x)的极小值点，也是最小值点，即设则从而g(x)在(1,2)上单调递减，故g(x)

计算出f(x)min,g(x)max，一旦f(x)min>g(x)max成立，则必有f(x)>g(x)，此时的函数不等式相对比较弱. 还有一种情形是，f(x)min=g(x)max，但两边取最值的条件不同，也有f(x)>g(x). 回到例题，不等式的两边均无最值，此时得设法等价改造使得能求最值.

以上思路是在中间找一个常数作为中介来证明f(x)>g(x). 类似地，我们也可以通过适当放缩在中间插入一个函数作为中介来证明f(x)>g(x). 函数不等式ex≥x+1及其等价形式lnx≤x-1是常用的放缩工具，也是例题的背景.

证法3 首先证明不等式ex≥x+1.

设f(x)=ex-x-1，则f′(x)=ex-1. 当x∈(-,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+)时，f′(x)>0. 从而x=0是f(x)的极小值点，同时也是最小值点，即f(x)≥f(0)=0，故ex≥x+1，等号成立当且仅当x=0.

当x>-1时，由ex≥x+1得x≥ln(x+1). 从而当x>0时，x-1≥lnx，等号成立当且仅当x=1.

于是当x>0时，ex>x+1=(x-1)+2≥lnx+2，ex>lnx+2得证.

参考文献：

[1]林国夫. 2013年高考导数综合应用中的“隐零点”[J]. 中学数学杂志，2013(9)：49-52.