找准关联 化繁为简——由一道高考解析几何题引发的思考

沈文哲

(浙江省温州中学高三(1)班 325000)

解析几何以其计算繁琐著称，笔者在探索2017年高考数学浙江卷第21题得到启示，在解答解析几何求值时应尽量减少相关量之间的复杂联系，甚至切断不必要的联系，使表达式趋于简洁，达到简便计算的目的.

一、试题回放

二、解法对比

1.我的解法

当从点P坐标入手时，|PA|·|PQ|表达式变得异常复杂，很难求得答案.

2.标准答案

所以 |PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(k)=-(k-1)(k+1)3,

因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,

三、问题思考

笔者的解法与标准答案的切入点不同，即笔者是以点P定所有直线，而标准答案则是以直线定点的，为什么会产生如此大的差别？笔者经思考后，认为原因如下：

1.kAP、kBQ这一简单结论被笔者作为辅助条件，而标准答案则直接以此设直线.

2.以点定直线时使得kAP、kBP、点Q产生极为复杂的联系，而点Q与kAP为|PA|·|PQ|的关键，使点Q与kAP复杂化，必然不利于计算.

总的来说，对于解析几何计算求值，与表达式有关的量都应趋于简便，使其联系更加简单，甚至“切断”联系，这样才有利于解答.

四、问题应用

分析基本思路是利用y=k(x+c)与椭圆联立，利用韦达定理求解，但仔细思考后，使用y=k(x+c)会使AF1、BF1的长与F1产生联系，使得计算复杂化，因此必须切断AF1、BF1与F1的联系.

原始解法：设AB：y=k(x+c) 与椭圆联立,可得

最优解法：设AB：x=ty-c与椭圆联立,可得

(3t2+4)y2-6tcy-9c2=0.

解析几何题求值时，量的关系是多样化的，我们应找准关联，选择最有利于解题的关系，做到化繁为简，使问题迎刃而解.

参考文献：

[1]蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M].杭州：浙江大学出版社，2015(11).

[2]朱红喜.2012年高考数学江苏卷解析几何题别解[J].中学数学，2012(17).