对课本定义的拓展及应用

韩义成

(甘肃省积石山县积石中学 731700)

必修2新教材课本P66关于直线和平面所成角的定义是“平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.”包括0°和90°的角.由此可以得出两个结论：

1.斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.

2.斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.

但是从结论以及图形里面隐藏着一个应用广泛的好结论：

图1

如图，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB(记作l′)是l在α内的射影，∠AOB(记作θ)是l与α所成的角.

设∠AOB=θ，∠BOC=β，∠AOC=α，△AOB，△BOC，△AOC都是直角三角形.易得：cosα=cosθcosβ.

∵0≤cosθ≤1，0≤cosβ≤1，

∴cosα≤cosβ， cosα≤cosθ,

即α≥β，α≥θ，说明当直线OA绕着点O竖直向上移动的过程中，∠AOC始终不小于∠AOB和∠BOC.

下面先看一道好题：

已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

图2

分析将直线a、b平移交于点P，如图AA′∥a，BB′∥b，∠APB=50°.

设CC′、DD′为两对顶角的平分线，∵∠APC=∠BPC=25°<30°，∴存在这样的射线PQ，使得∠QPA=∠QPB= 30° .根据对称性知相应直线PQ有2条，∵∠BPD=∠A′PD=65°>30°，∴不存在这样的射线PR，使得∠RPB=∠RPA′=30°.

综上所述，这样的直线有且只有2条.

变式已知异面直线a与b所成的角为60°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有且仅有( )

图3

A.1条 B.2条

C.3条 D.4条

分析将直线a、b平移交于点P，如图AA′∥a，BB′∥b，∠APB=60°.

设CC′、DD′为两对顶角的平分线，∵∠APC=∠BPC=30°<60°，∴存在这样的射线PQ，使得∠QPA=∠QPB= 60° .根据对称性知相应直线PQ有2条，∵∠BPD=∠A′PD=60°，∴存在惟一的直线DD′，使得∠DPB=∠DPA′=60°，综上所述，这样的直线有且只有3条.

从上述两题中得出：空间两条直线所成角的值不同，导致所求的直线条数不一样，因此通过具体的分析与讨论，我们可以总结出一般情况的规律了.

记两条异面直线的夹角为θ，其中0°<θ≤90°，过空间一点与异面直线成相等的角为α，其中0°<α≤90°，于是有下表：

α的取值θ与α的关系及直线的条数0°<α≤45°θ<2α2条θ=2α1条θ>2α0条α=45°2条45°<α<90°θ+2α<180°2条θ+2α=180°3条θ+2α>180°4条α=90°1条

应用上述的结论，读者可以轻而易举的解下列的题目，不妨一试：

1.已知异面直线a与b所成的角为60°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( ).

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2.已知异面直线a与b所成的角为70°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有且仅有( ).

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

3.P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有且仅有 ( )

A.2或3条 B.3或4条

C.1或2或3条 D.2或3或4条

4.异面直线a、b成80°角，P为a、b之外的一个定点，若过P有且仅有2条直线与a、b所成角相等(都等于θ)，则θ满足( )

A.0°<θ<40° B.40°<θ<50°

C.40°<θ<90° D.50°<θ<90°

参考答案A、D、D、B

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准试验教科书( 必修)数学4(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.