具有季节影响的多菌株登革热病毒传播模型研究

郑庭庭, 聂麟飞

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

1 引言及预备知识

登革热(Dengue fever)是一种常见的急性虫媒传染病,它的传播媒介主要是伊蚊(其中包括埃及伊蚊和白纹伊蚊).当易感人群被携带登革热病毒的雌蚊叮咬后,病毒就会通过蚊子的唾液进入人体血液而被传染,同时蚊子吸食携带登革热病毒的人群的血液时也会被传染,这就导致了病毒在人群和蚊子之间的传播[1].

近年来,随着世界各地的登革热发病率和致死率的大幅增加,登革热疾病已经成为一个国际重点关注的公共卫生问题[1-2].世界卫生组织的数据显示[2],每年大约有3.9亿例登革热感染病例(95%置信区间2.84～5.28亿),其中9 600万(95%置信区间0.67～1.36亿)出现不同程度的临床症状.登革热的临床表现为突发性剧烈头痛、眼球后疼痛、肌肉和关节疼痛、恶心、呕吐,部分患者出现皮疹、出血倾向、淋巴结肿大、白细胞计数减少、血小板减少等症状.登革热还可能发展成潜在的致命并发症,称为登革出血热(Dengue Haemorrhagic Fever)和登革热休克综合征(Dengue Shock Syndrome),其最严重的形式主要通过增加血管通透性和冲击从而威胁到病人的生命[3].

在过去的几十年里,众多学者建立了各类登革热病毒在蚊子和人群之间传播的动力学模型,讨论了疾病的流行规律和预防控制措施[4-6].例如,Esteva等[7]提出了一个人口总数是常数而蚊子总数是变量的SIR登革热动力学模型,得到了决定疾病流行和消除的阈值条件.Li等[8]考虑了一个具有双线性发生率和饱和发生率的登革热病毒传播模型,给出了疾病的基本再生数的精确表达式,即当基本再生数小于1时,模型无病平衡点是全局渐近稳定的,当基本再生数大于1时,疾病是持久的且模型存在唯一的全局渐近稳定的地方病平衡点.

另一方面,临床数据表明登革热是由4种不同、但却紧密相关的登革热病毒(病毒学家称之为DEN-1、DEN-2、DEN-3和DEN-4病毒型)引起的,人感染一种病毒血清型并康复后,体内会对这种病毒血清型产生终身免疫,但对其他3种病毒血清型只有部分和短暂的交叉免疫[9].研究表明,连续感染会加大人群患DHF/DSS的风险[10].因此,一些学者建立了具有多种登革热病毒血清型的数学模型,研究了模型的各种动力学行为,讨论了继发感染对疾病传播和控制的影响[3,11-13].特别地,Feng等[11]建立了一类具有2种病毒血清型的SIR登革热传播模型,研究得出了疾病的流行病学趋势,以及允许竞争时的病毒血清型共存的条件.Esteva等[3]提出了一类具有2种病毒血清型的非线性登革热动力学模型,讨论了模型无病平衡点和边界平衡点的存在性和稳定性,得到了刻画疾病消除和流行的阈值条件,以及2种登革热病毒血清型共存的充分条件.理论结果表明,在一定的参数范围内,2种登革热病毒血清型在人体中共存是可能的.

众所周知,登革热疾病的高发区为热带和亚热带,而蚊子对环境条件有很强的敏感性[1-2],因此,气候因素对蚊子的行为和登革热病毒传播的有效性等方面有着非常重要的影响[14-15].考虑到上述因素,Rodrigues等[16]提出了一类刻画疾病在蚊子和人群之间传播规律的登革热仓室模型,利用蚊子在不同的温度和降雨量下的各种行为模拟并分析了季节变化对登革热疾病的控制与消除的影响,研究结果表明通过控制温度和降雨量可以有效的阻碍或促进登革热疾病的发展.此外,也有学者提出了具有季节影响的虫媒介传染病模型[17-21].例如,Wang等[22]提出一个在周期环境下的疟疾传播模型,计算得出了该模型的基本再生数,证明了基本再生数是决定疾病灭绝或持久的阈值条件,并通过数值模拟验证了理论结果的正确性和模型更复杂的动力学行为.Gourley等[23]考虑到季节的影响,建立了蓝舌病在蚊子和牛(或羊)之间传播的非自治的动力学模型,得到了模型无病平衡点的存在性与稳定性的判别准则,并对该准则进行了必要的生物解释.

本文基于上述讨论,建立了一类具有季节影响的两菌株登革热病毒传播的数学模型,研究了模型解的非负性与有界性、无病周期解的存在性与稳定性以及疾病的持久性.

考虑到季节变化对蚊子的行为与登革热病毒传播的影响,将基于经典的传染病仓室模型,提出一类具有季节影响的2种登革热病毒血清型的数学模型.

将某个地区的人群分为易感者、初次感染者、二次感染者和恢复者,并分别用S(t)、Ii(t)、Yj(t)和R(t)表示t时刻易感人群,初次感染血清为i的人群,二次感染血清为j的人群和恢复者,其中i,j=1,2，i≠j.将雌蚊分为易感群体和染病群体,分别用U(t)和Vi(t)代表t时刻易感雌蚊和感染血清为i的雌蚊的数量.记

基于登革热病毒在蚊子和人群中的传播规律,该模型可以表示为

(1)

模型中其他参数的含义由表1给出.

表 1 模型(1)中参数的含义

设Rn+:={(x1,x2,…,xn):xi≥0,i=1,2,…,n},基于模型(1)的生物背景,仅需在区域内考虑模型(1)的动力学行为.对于模型(1),始终引入以下2个假设：

首先,考虑下面的ω周期的线性微分方程

(2)

其中a(t)和c(t)对所有的t≥0都是连续的ω周期函数.关于方程(2)的正周期解的吸引性,下面的结论显然成立.

在模型(1)中,令Ii≡0,Yi≡0,Vi≡0,由此可得R=0,其中i=1,2,则得到下面的子系统

(3)

引理2模型(3)存在唯一的全局吸引的正ω周期解

令Rn是范数为‖·‖的标准有序的n维欧几里得空间.对任意的u,v∈Rn,若u-v∈Rn+,则记为u≥v;若u-v∈Rn+{0},则记为u>v;若u-v∈intRn+,则记为u≫v.假设A(t)是连续合作不可约[25]的n×n维ω周期矩阵函数,ΦA(t)是下列线性常微分方程的基解矩阵

(4)

且ρ(Φ(ω))是Φ(ω)的谱半径.由Perron-Frobenius定理可知,ρ(Φ(ω))是Φ(ω)的主特征值.关于方程(4),有下面的引理3.

引理3[26]设p=lnρ(Φ(ω))/ω,则存在一个正的ω周期函数v(t)使得eptv(t)是方程(4)的一个解.

2 模型的适定性

关于模型(1)解的非负性和有界性,有如下的定理.

定理1设(S(t),I1(t),I2(t),Y1(t),Y2(t),R(t),U(t),V1(t),V2(t))是模型(1)的解,则

I1(t),I2(t),Y1(t),Y2(t),R(t),U(t),V1(t),V2(t))对所有的t≥0是正的.

证明首先证明结论(ii).由模型(1)的第5和第7个方程可知,对所有的t≥0有

且

因为S(0)>0,U(0)>0,所以

且

设

且

i=1,2.

因此,只需要证明对所有的t>0有m(t)>0.反证,假设存在某个t0>0,使得m(t0)=0且对t∈[0,t0)有m(t)>0,则仅需讨论以下7种情况：

(Ⅰ) m(t0)=I1(t0);

(Ⅱ) m(t0)=I2(t0);

(Ⅲ) m(t0)=Y1(t0);

(Ⅳ) m(t0)=Y2(t0);

(Ⅴ) m(t0)=R(t0);

(Ⅵ) m(t0)=V1(t0);

(Ⅶ) m(t0)=V2(t0).

考虑到证明方法的类似性,这里仅给出第3种情况的证明,即m(t0)=Y1(t0).由于对t∈[0,t0)有m(t)>0,故V1(t)>0,I2(t)>0.进而,对所有的t≥0有

对上述不等式两边从0到t0积分可得

这与Y1(t0)=0矛盾.因此,模型(1)的解是正的.结论(ii)得证.

最后证明模型(1)解的有界性.令

N(t)=S(t)+I1(t)+I2(t)+Y1(t)+

Y2(t)+R(t)，

则有

其中,μ和Λ(t),即U(t)、V1(t)和V2(t)是最终有界的.证毕.

3 疾病的灭绝和持久

且

记

X(t)=(i1(t),i2(t),y1(t),y2(t),v1(t),
v2(t),s(t),r(t),u(t)),

则模型(1)可以改写成如下的向量形式

(5)

这里

其中(*)代表一个非零矩阵块.由文献[27]可知,模型(1)的无病周期解的稳定性是由F(t)-V(t)的谱半径ρ(Φ(ω))决定的.因此,下面的结论显然成立.

定理2若R0=ρ(Φ(ω))<1,则模型(1)无病周期是局部渐近稳定的.

为了得到无病周期解的全局渐近稳定性,将模型(1)改写为如下形式

令

关于模型(1)的无病周期解的全局渐近稳定性,有下面的结论.

定理3若R0=ρ(Φ(ω))<1且<1,则模型(1)的无病周期解是全局渐近稳定的.

证明由定理2可知,当R0<1时,模型(1)的无病周期解是局部渐近稳定的,故只需证明无病周期解是全局吸引的.由<1,可以选取一个足够小的常数η>0,使得ρ(其中

(7)

其中,W1(t)=I1(t)+Y2(t)，W2(t)=I2(t)+Y1(t)，W3(t)=V1(t),W4(t)=V2(t).

考虑下面的比较系统

(8)

由引理3可知,存在一个正的ω周期解

v(t)=(v1(t),v2(t),v3(t),v4(t))T,

p=ln{ρ(

记

是模型(8)的任一解,则可选取一个常数τ>0,使得

J(T1)≤τev(T1).

由常微分方程的比较原理可知,对所有的t≥T1有

J(t)≤τev(t).

因为

ρ(

所以

故

进一步有

从而

因此,模型(1)的无病周期解是全局吸引的.证毕.

为了讨论模型(1)的一致持久性,将模型(1)改写成为以下形式

(9)

其中

I(t)=I1(t)+I2(t)+Y1(t)+Y2(t),
V(t)=V1(t)+V2(t).

令

这里

关于模型(1)的疾病的一致持久性,有下面结论.

定理4若0=ρ((ω))>1,则模型(1)中的疾病是一致持久的,即存在一个正常数δ,使得模型(1)的解满足:

证明由0>1,可选取一个足够小的正常数σ,使得

ρ(

其中

考虑下面含参数的线性方程

(10)

(11)

定义集合

X={(S,I,R,U,V):S>0,I≥0,R≥0,
U>0,V≥0},
X0={(S,I,R,U,V):I>0,V>0},
∂X=XX0={(S,I,R,U,V):IV=0}.

P(x0)=u(ω,x0),
x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈X.

(12)

其中

满足初始条件u(0,x0)=x0的解.显然,模型(12)的所有解都是最终有界的.因此P在X0上是点耗散的也是紧的.

定义

M∂={x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈
∂X0:Pm(x0)∈∂X0,∀m≥0},

其中

P0(x0)=x0, P(x0)=P(x0),

Pm(x0)=P(Px0)).

接下来,证明

事实上,模型(12)中从初值

x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈M∂

Pm(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))=

下面证明

用反证法.假设存在一个

(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈M∂,

使得

显然

max{I(0),V(0)}>0.

x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))

对上述不等式从0到t积分可得

进而,由模型(12)的第5个方程可得

在M∂中,模型(12)退化成为

(13)

Ws(E1)={x0:Pm(x0)→E1,m→}.

下面证明Ws(E1)∩X0=Ø.由解对初值的连续依赖性,对于上述的正常数ε,存在δ>0,使得对所有的x0∈X0都有x0-E1≤δ,则对任意的t∈[0,ω]有

u(t,x0)-u(t,E1)≤ε,

其中

因为u(t,E1)是以ω为周期的,所以对任意t1,t2>0,k∈Z,满足t2=kω+t1,有

u(t1,E1)=u(t2,E1)

成立.

最后证明对任意的x0∈X0,都有

(14)

成立.用反证法,假设结论不成立,即存在某x0∈X0使得

成立.不失一般性,假设对所有的m>0,有

|Pm(x0)-E1|<δ

成立,则对任意的t∈[0,ω],有

|u(t,Pm(x0))-u(t,E1)|≤ε.

对任意的t≥0,设t=t1+nω,其中t1∈[0,ω],n=t/ω表示小于等于t/ω的最大整数,则有

|u(t,x0)-u(t,E1)|=

|u(t1,Pm(x0))-u(t1,E1)|<ε.

利用比较定理可知,对t≥0有

(15)

(16)

成立.从而,由(11)、(15)和(16)式可以得到,对任意的t≥t2,有下列不等式成立:

故对任意的t≥t2有:

考虑以下比较方程

(17)

(18)

由引理3可知,存在一个正的ω周期函数

w(t)=(w1(t),w(t))T,

使得

(i(t),v(t))=eθtw(t),

其中

θ=ln{ρ(

是模型(18)的解.记J=(i(t),v(t))T模型(18)的解,可取足够小的常数τ>0,使得

J(t2)>τeθt2w(t2).

由常微分方程的比较原理可知,对所有的t≥t2有

J(t)>τew(t)

成立.因为

ρ(

则有

θ=ln{ρ(

故

即

Ws(E1)∩X0=Ø.

综上所述,从M∂中出发的每一条轨道都趋近于E1,即E1是M∂中的一个极限环.由文献[25]中的动力系统的一致持久定理可知,映射P关于(X0,∂X0)是一致持久.所以,模型(12)是一致持久的.进一步,由常微分方程的比较原理可得,模型(9)是一致持久的,即模型(1)是一致持久的.证毕.

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