带有分段常数变量的捕食者-食饵模型的稳定性和Neimark-Sacker分支

豆中丽， 王 锐

(1. 重庆工商大学 融智学院， 重庆 400055; 2. 重庆大学 数学科学学院， 重庆 401331)

种群生态学是生态学中应用较为广泛、发展较为成熟的一个分支，捕食者-食饵系统主要描述生态学中种群之间的相互关系.在生态系统中，具有分段常数变量的微分方程模型的稳定性、分支、混沌行为越来越受到学者们的关注.文献[1]讨论了如下带有分段常数变量的单种群Logistic模型

其中,t,r,K∈(0,+∞),[t]表示参数t的整数部分.文中讨论了模型在正平衡点处的稳定性和分支行为，当参数r等于某特殊值时,该模型在正平衡点附近出现混沌现象.文献[2]研究了具分段常数变量及干扰的反馈控制模型

解的全局存在性、正平衡点的唯一性、全局渐近稳定性、分支的存在性及其方向和稳定性.文献[3]描述了害虫受天敌、气象环境和植被等外界环境因素的影响，讨论了模型

的正平衡态的稳定性、翻转分支和Neimark-Sacker分支周期解的充分条件以及数值模拟验证理论分析的正确性.文献[4]研究了捕食者对食饵的捕获具有滞后效应的模型

的正平衡态稳定性分析、Neimark-Sacker分支的存在性及其分支方向与稳定性.在上述文献的基础上，本文考虑了具有Holling-III功能反应函数

的捕食者-食饵模型

其中,X为食饵种群密度，Y为捕食者种群密度，r∈(0,1)为食饵内禀增长率，K>0为环境容纳量可解释为食饵所取作物状况，a为捕食者的捕食率，β∈[0,1)为食饵逃避率，捕食种群能捕捉到食饵数量为(1-β)X(t)，c∈(0,1]为捕食者捕食食饵的转化率，d为捕食者的死亡率.

根据生态学意义可知,模型(1)的初始条件为

X(0)=X0>0,Y(0)=Y0>0.

1 平衡点的存在性和稳定性

下面讨论模型(1)解的存在性、正平衡点唯一性及给出模型在平衡点处的稳定性分析.

定理1.1模型(1)满足初始条件的解在t≥0存在且有界.

证明可利用反证法与比较原理进行证明.

证明模型(1)的平衡点满足方程

令

因为f(Y)是R+上的连续函数，且

f(+∞)=-∞.

当n≤t≤n+1(n=0,1,2,…)时,系统(1)转化为

(2)

对(2)式两端从n到t积分，令t→n+1，化简得到

(3)

通过计算求得：对于任何参数，系统有不动点E0(0,0)、E1(K,0)；当ac-d>0,K>K0时，系统(3)存在唯一正平衡点

其中

定理1.3模型(3)的平衡点E0(0,0)是鞍点.

证明模型(3)的Jacob矩阵为

其中

当(X(n),Y(n))=(0,0)时，由模型(3)可知对应的线性系统[5]的特征方程

(λ-er)(λ-e-d)=0，

则

λ1=er,λ2=e-d.

因为r>0，由此可知|λ1|>1,|λ2|<1，所以平衡点E0(0,0)是鞍点.

定理1.41) 当0

(i) 当K(1-β)(ac-d)

(ii) 当K(1-β)(ac-d)>d时，平衡点E1(K,0)是鞍点.

2) 当r>2，K(1-β)(ac-d)>d时，平衡点E1(K,0)是不稳定的.

3) 当r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d时，模型在平衡点E1(K,0)处产生flip分支.

证明模型(3)在平衡点E1(K,0)的Jacob矩阵

其中

1) 当0

(i) 当K(1-β)(ac-d)

(ii) 当K(1-β)(ac-d)>d时，|λ1|<1,|λ2|>1，所以E1(K,0)是鞍点.

2) 当r>2，K(1-β)(ac-d)>d时，|λ1|>1,|λ2|>1，所以E1(K,0)是不稳定的.

3) 当r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d时，|λ1|≠1且|λ2|=1，所以模型在E1(K,0)处产生flip分支.

4) 当

且

5) 当

d(1+ac-d)K=(ac+(1+ac-d)d)K0

其中

模型的正平衡点的稳定性由特征方程的特征根所决定，令

p(λ)=λ2+μ1λ+μ2,

可求解得到

由此可得特征根

通过计算可知,当ac-d>0,K>K0时，

1)

由

d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0<0,

可得

令

2) 当

3) 当

d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0>0,

4) 当

5) 当

2分支解的存在性和稳定性

处的Jacob矩阵

可得特征根

其中

设p、q分别是对应于特征值eiθ0、e-iθ0的特征向量：

Aq=eiθ0q,ATp=e-iθ0p.

为了必要的标准化

可取

通过计算此系统可表示为

这里O(‖x‖4)是高阶无穷小量,B(x,y)和C(x,y,z)是多重线性函数，且在坐标下的分量为:

于是

具有Neimark-Sacker分支的系统出现闭不变曲线的方向，可用下面的公式计算：

下面通过实例，运用Matlab软件绘出相应的分支图[9]，并通过图形说明该模型复杂的动力学行为.当参数r=r0=0.68时，产生Neimark-Sacker分支，如图1；当r>r0=0.68时，在正平衡点处失稳经过反复迭代系统出现混沌现象，如图2.使用数值模拟验证参数对模型稳定性和分支周期解的存在性影响，当分支参数的临界值发生变化，系统也在发生变化，可见系统对初值的敏感性，初值经过反复迭代，系统失稳出现分支情形，最后产生混沌现象.

图 1 Neimark-Sacker分支解相平面图

3 总结和讨论

本文讨论了带有分段常数变量的捕食者-食饵模型并通过计算得到模型对应的差分方程.

首先,讨论了模型在正平衡点处的情形，模型在平衡点处是鞍点.

2) 当r>2，K(1-β)(ac-d)>d时，平衡点E1(K,0)是不稳定的.

3) 当r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d时，模型在平衡点E1(K,0)处产生flip分支.

其次,讨论了模型的内禀增长率

最后，使用数值模拟的方法当r=r0=0.68时，产生Neimark-Sacker分支；当r>r0=0.68时，在正平衡点处失稳.初值经过反复迭代趋于∞时，系统的分支会越来越多越来越密，最后进入混沌状态，从而验证了理论结果的正确性.

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