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打通纵横联系 巧构隐圆解题

2018-04-24江苏省新沂市第一中学

中学数学教学 2018年2期
关键词:两圆本题课本

江苏省新沂市第一中学

苗庆硕 (邮编:221400)

圆是一种非常完美的图形,具有很强的对称性和很优美的一些性质.因此,若能借助圆的一些性质进行解题,往往能达到化难为易的效果.笔者在教学过程中发现,有很多表面上看起来与圆无关的问题,若能通过细致的观察,实施一定的策略转化为圆的问题,往往能达到意想不到的效果,能突破解题的瓶颈.通过构造隐形的圆并转化为与圆有关的问题,体现了数形结合与化归的核心数学思想,是实数变式教学的重要途径与手段.下面结合近几年来的各类试题,谈谈如何构造隐圆解题这个问题,现分析如下,供大家参考.

1 双变量问题

解析令

其中a≥0,b≥0,则x=y+(x-y)=a2+b2.

图1

评注 本题含有两个变量与根式,通过观察,发现两个根式的平方和即为所求.通过实施换元策略,转化为常见的点与圆的最值问题,从而降低了解题的难度.

2 函数最值问题

图2

解析f(x)=

评注本题借助平面向量,构造隐圆,转化为与圆有关的向量数量积问题,令人耳目一新.

3 解三角形问题

例3(2008年高考江苏卷)满足条件

的三角形ABC的面积的最大值是______.

图3

解析以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则可设C(x,y),A(-1,0),B(1,0).

评注本题若用解三角形的方法求解,要复杂得多.通过建系,发现点C在圆上运动,此圆是非常著名的阿波罗尼斯圆,是源于课本的一道经典考题.

4 平面向量问题

例4(2011年高考大纲全国卷)设向量a、b、c满足

〈a-c,b-c〉=60°,则|c|的最大值等于( )

图4

评注注意到向量具有数与形的特征,故可结合图形思考,不难发现O、A、C、B四点共圆,然后利用圆的性质和三角形全等的判定知识,实现问题的解决.

5 解析几何问题

例5(湖北省荆门、荆州、襄阳、宜昌2017年七校联考)已知圆O:x2+y2=4,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA、PB、A、B为切点,则直线AB经过定点( )

C.(2,0) D.(9,0)

图5

又圆O的方程为x2+y2=4

②减去①得两圆的公共弦AB所在直线的方程为2mx+2ny=4

因为点P(2m,2n)在直线x+2y-9=0上,所以2m+4n-9=0,即2m=9-4n.

所以③可化为(9-4n)x+2ny-4=0,即2n(y-2x)+(9x-4)=0,

评注通过观察,发现,A、O、B、P四点共圆,同时可求出此圆的方程.于是AB即为两圆的公共弦方程,两圆方程相减,即可快速得到直线AB的方程.这是源于课本的重要方法,应引起足够的重视.

通过以上的问题的分析,我们发现,构造隐圆解决数学问题是一种广泛运用于解题的方法.这种方法具有一定的可操作性,关键是通过认真观察,发现隐形的圆,使之为自己的解题服务.有些问题具有一定的数学文化背景,如例3,有些问题根植于课本而高于课本,如例5,有些问题打通了数学知识的内在联系,如例2.通过构造隐圆解决问题,不仅能开阔学生的思维与视野,提高解决问题的能力,还能使之体会到数学之美并学生的提高数学核心素养.

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