数学核心素养下的课堂教学设计探究——以函数的周期性为例

安徽省安庆市第二中学

王 庆 (邮编：246001)

普通高中数学学科核心素养包含：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面，六者相互独立，又相互交融，构成统一整体.数学核心素养以数学双基为基础，以三维目标为表现形式，反映了数学的本质与相关的数学思想，突出学生终身发展所必需的素养培养.

在数学课堂教学中，如何落实数学核心素养的培养，是我们每一个数学教育工作者都必须面对的一个重要课题.

对这一课题也进行了深入思考，下面以笔者在安庆市基于学生核心素养培养的高中数学特色主题教研活动上交流展示课——函数的周期性为例，谈谈在数学课堂教学中，如何培养学生的数学核心素养.

1 复习引入

1.1 函数的周期性定义

设计意图让学生学会解决问题需要回归本源，依据定义、规则推出结论的思维过程.复习旧知识，为本节课作铺垫，也让学生知道推导周期的公式只有f(x+T)=f(x).提醒学生思考：定义中没有说三角函数f(x)，这意味着其它函数也可能是周期函数.同时还要说明：x∈R时，f(x+nT)=f(x)(k∈Z且k≠0)，这也是为后面研究周期时只考虑众多周期中的一个埋下伏笔.

1.2 观察下面两个三角函数图象，指出函数的周期和对称轴、对称中心

设计意图复习正弦函数和余弦函数的对称性和周期性，为下面的观察发现作铺垫.选择正余弦函数因为正余弦函数是最基本的三角函数，学生都熟悉它们的性质，能够很快入手，如果选择y=cos2x学生需要花时间来求对称中心与对称轴.

2 探究与发现

问题1正弦函数y=sinx的对称轴与周期有关系吗？

设计意图引导学生从具体实例图形中观察发现半周期等于相邻对称轴间距离.培养学生事物间联系的哲学思想.

借助具体图形感知，事物的一般性规律，落实数学核心素养中直观想象的培养.

问题2这种对称轴与周期的关系其它函数也具备吗？再看看y=cosx.

设计意图通过具体的实例，积累由具体到抽象的活动经验，再次验证猜想.

问题3“相邻对称轴间距离等于函数半周期”能作为结论吗？

设计意图学生由具体的特殊函数y=sinx和y=cosx，抽象出一般性结论，落实了数学核心素养中数学抽象的培养.也培养了学生严谨的治学态度，让学生学会发现新规律方法:观察、分析、归纳、猜想、证明.

学生证明过程中的困难：对称性的公式表示和赋值法对公式f(x+2a)=f(x+2b)变形，即函数对称轴为x=a,则f(x)=f(x+2a),和需要对f(x+2a)=f(x+2b)中x进行赋值x-2b，得f(x+2a-2b)=f(x).

结论1函数f(x)的定义域为R，对称轴为x=a和x=b，则T=2|a-b|(a≠b).

问题4正弦函数的对称中心与周期之间是否也有关系呢？

T=2π，对称中心

设计意图类比前面相邻对称轴与周期关系，观察、发现、归纳相邻对称中心间距离与周期关系.

问题5结论1中的x=a和x=b换成(a,0)和(b,0)，结论是什么？

结论1中的x=a和x=b换成(a,0)和x=b，结论是什么？

设计意图通过两种形式的对称关系，培养学生类比推理能力.由y=sinx和y=cosx具体图形归纳出周期的一般性结论抽象,培养学生由具体到一般，由特殊到抽象的思考和推理方法.同时培养学生学会结论发散，改变一个对称情况，再改变两个对称情况，结论分别是怎样变化.这里对称中心为(a,0)的函数表示f(x+2a)+f(x)=0是学生的一个难点.

结论2放手让学生操作，仿照结论1自行推导.由于课堂教学时间制约同时还需要利用结论4的迭代法证明，因此结论3让学生课后自己证明.

通过类比落实了数学核心素养中逻辑推理培养，通过对比相邻两条对称轴、对称中心与相邻对称轴和对称中心之间的不同，培养对立与统一的哲学思想.

结论2函数f(x)的定义域为R，函数图象关于(a,0)和(b,0)对称中心，则T=2|a-b|(a≠b).

结论3函数f(x)的定义域为R，函数图象关于(a,0)对称中心，关于x=b轴对称，则T=4|a-b|(a≠b).

例1偶函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(1)+f(7)=______.

设计意图通过偶函数提炼出两条对称轴，利用结论1得出周期T=4.让学生明白奇偶性是特殊的对称性，奇偶性与对称性的统一.让学生在实际解题中运用结论、熟悉结论.

变式若偶函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，若x∈[0,2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2,4]时，f(x)的解析式 .

设计意图这是一道融奇偶性、对称性和周期性的分段函数解析式问题.培养学生在复杂条件下分析处理问题的能力.本题突破口是两段函数的自变量关系，由T=4和x∈[2,4]，得-2≤x-4≤0，再根据奇偶性得0≤4-x≤2.更直接的方法，[0,2]与[2,4]关于x=2对称，培养学生一题多解的能力.

通过计算求解，落实数学核心素养中数学运算培养.

问题6正弦函数f(x)=sinx前面通过相邻对称轴和相邻对称中心都得出半周期为π，由sin(x+π)=-sinx，得f(x+π)=-f(x).联系T=2π，把f(x+π)=-f(x)中π换成a会有什么结论？能证明吗？

设计意图紧扣y=sinx和y=cosx两个函数，类比诱导公式，通过形式上比较，归纳猜想结论：函数f(x)的定义域为R，若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|(a≠0).加深学生对三角函数周期和诱导公式的理解.再引导学生思考：如何去掉f(x+a)=-f(x)中的负号，在问题的引领下引进迭代法求周期.提醒学生把f(x+a)+f(x)=0形式更一般化：f(x)+f(x+a)=b(b≠0)，会得到什么结论？培养学生追根溯源，直达问题本质的执着精神.这里体现了数学核心素养逻辑推理和数学抽象的培养.

结论4函数f(x)的定义域为R，若f(x)+f(x+a)=b，则T=2|a|(a≠0).

设计意图培养学生通过不同形式抽象出一般性结论的归纳抽象能力，反映了周期的本质规律.一般性结论的得出，让问题更简单，让形式更简洁，体现了数学抽象与简洁的美.

结论5函数f(x)的定义域为R，若f(x)·f(x+a)=b，则T=2|a|(ab≠0).

例题2函数f(x)的定义域为R，f(x+3)=-f(x)，且f(1)=1，则f(64)=______.

分析迭代法求周期.f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=-(-f(x))=f(x)，所以T=6.

设计意图让学生熟悉结论4，培养学生运用已有结论解决问题的能力.这里选择计算f(64)还考查学生对周期性理解和运用：f(64)=f(4)，即同余对应值相等.

例3定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是最小正周期为T的函数.若将f(x)=0在区间[-T，T]上根的个数记为n，则n的可能值为( )

A.0 B.1 C.3 D.5

分析f(T)=f(-T)=f(0)=0，f(x+T)=f(x)，f(-x)=-f(x).

所以f(x+T)+f(x)=0，得

设计意图这里学生容易得到三个根x=0，x=-T，x=T.但是用特例法，由y=sinx图象得出五个根，引发学生思维冲突，加深对知识的理解.顺势引导学生学会逆向思维，前面都是由对称性推出周期性，这里由周期性和对称性能推出对称性.这里用演绎推理方法解决问题，落实了逻辑推理核心素养的培养.

练习定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数.

其中，正确的序号是______.

设计意图函数多种性质综合应用，需要灵活应用公式，培养学生灵活应变能力.教会学生解决抽象问题最好的方法是形象性具体化，引导学生通过图形，直观发现，再小心求证.

3 课堂小结

本节课通过由特殊到一般的方法学习了抽象函数的周期性求法.给出五种类型周期的一般性求法和结论，并会用所学结论解决问题.

4 作业布置

3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.

(1)证明：f(x)是周期函数；

(2)若当x∈[-2,2]时，f(x)=-x2+2x，求当x∈[-6,-2]时，f(x)的解析式.

教学反思

课程教学素养本位应成为每一位教师课堂教学的核心，渗透到每一堂数学教学中.函数周期性学习通过由直观想象到抽象理解、由探究发现到推理证明，能够很好体现学生核心素养的培养.

本节课内容是高考常考知识点之一，但是在教材中找不到出处.数学《必修一》中没有介绍，高三复习中都是直接出现结论，而例题、习题又直接考查这一知识点.对学生而言这部分知识的生成就出现断层，是一片空白，基于这样思考，所以开设了这节课.

本节课内容是抽象函数的周期性.函数抽象，看不见摸不着，学生理解起来有困难.本节课依托函数对称性和迭代法来推导函数周期.但是函数对称性的表达式形式本身就是学生的难点，再加上学生对方法的不熟练，会给学生的学习造成很大困扰.因此，在上函数奇偶性时，就应该对函数的对称性表达方式加以拓展和延伸.

本节课紧扣两个特殊函数y=sinx和y=cosx，通过它们的相邻两条对称轴、两个对称中心、一个对称中心和一条对称轴与周期的关系，由形到数的抽象.让学生学会细心观察、认真分析、大胆猜想、小心求证的思维方法.问题1～5是由特殊到一般、具体到抽象的归纳推理，问题7和8是由特殊到特殊的类比推理，两种推理的有机结合，完成了学生知识框架的构建.

本节课教学中，力求渗透数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等方面数学核心素养.通过八个问题引导学生思考、探究，体现教师的主导和学生的主体地位，教师是课堂的组织者和参与者的教学思想.

本节课教学中，学生能够轻松地由具体图形归纳、抽象出函数的周期，实现了由具体到抽象的本质规律的提炼.但是，有一部分学生对于对称轴和对称中心的一般形式的表示运用不熟练，影响了教学效果.

教师还需要加强核心素养理论学习，提高自身水平.我们要从学生的终身发展出发，多思考如何让核心素养在课堂教学中生根发芽，从而让课堂教学绽放绚丽的光彩.

1 中华人民共和国教育部. 教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见.2017-01-9

2 于涛.数学核心素养理念下的立体几何定理教学[J].数学通讯,2017(10)

3 胡浩，张永超.立足教材探数学核心素养落地生根[J].数学通讯,2017(10)