不忘初心 回归本源——平面向量高考题赏析

浙江兰溪市游埠中学

陈 晓 (邮编：321106)

平面向量在高考中占的比重不是很大，往往只是一两个小题．但是向量集代数、几何于一身，倍受命题者的青睐，许多全国卷和地方卷的高考题把平面向量放在小题的压轴位置．细细品味向量试题别有一番风味．

笔者认真梳理了2017年高考向量真题，发现许多向量试题都离不开平行四边形，或来源于平行四边形，或用平行四边形求解．平行四边形简直可以称为向量的“神图”．

图1

(a+b)2=a2+2a·b+b2

①

(a-b)2=a2-2a·b+b2

②

①+②得

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

③

恒等式③在人教A版必修4第二章第五节的例1出现过，其意义就是平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．

①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b

④

恒等式④称为极化恒等式，它沟通了向量的线性运算和数量积运算．

笔者选取部分高考向量真题，与广大师生一同品味．

类型一巧构“神图”速解小题

例1(2017年全国卷2文)设非零向量a、b，满足|a+b|=|a-b|,则

A.a⊥bB. |a|=|b|

C.a∥bD. |a|>|b|

解析如图1，以a、b为邻边作一平行四边形，由a⊥b可知该平行四边形为矩形，所以|a+b|=|a-b|．

例2(2017年全国卷1理)已知向量a、b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=______．

图2

图3

图4

图5

图6

则

A.I1

B.I1

C.I3

D.I2

所以I3

经典回顾(2014年浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b+ta|的最小值为1,则( )

A.若θ确定，则|a|唯一确定

B. 若θ确定，则|b|唯一确定

C.若|a|确定，则θ唯一确定

D. 若|b|确定，则θ唯一确定

图7

类型二两个恒等式的应用

例5(2017年浙江卷)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______．

|a+b|+|a-b|

例7(2017年浙江卷)如图8，已知抛物线x2=y，点

抛物线上的点P(x﹐y)

过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

图8

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

所以|PA|·|PQ|=2-|PM|2．

记

因为f′(x)=4x3-3x-1=

经典回顾(2012年安徽卷)若平面向量a，b满足|2a-b|≤3，则a·b的最小值是______．

高考真题是命题专家智慧的结晶，更具代表性和科学性.高三备考很多时候深陷题海战术不能自拔，做了大量的模拟题而成绩却很难提高，究其原因无外乎选题和做题两方面出问题了.事实上虽然高考题每年都不一样，但许多试题的背景和解法并没有变.比如本文提到的两个恒等式， 2012-2014年的浙江卷连续出现三年.因为向量兼具代数和几何，所以很多时候解平面向量的题目只需要画个图(比如本文提到的平行四边形)就能完成．建议考生翻阅浙江卷(2004年—2017年)的平面向量试题，许多题目都是可以作图完成的.总之，年年岁岁解相似，岁岁年年题不同.