立体几何问题转化为平面几何问题的思考

肖瞰臣

摘 要：将立体几何转化为平面几何的解题方法是当前较为常见的解题思路，然而在平常的解题过程中常常发生图形转换错误的现象。本文针对立体几何转化为平面几何问题展开研究，以期在日后的学习过程中深刻掌握转化技巧，提升解题速度，增强数学思维能力。

關键词：立体几何；平面几何；转化

前言

学习高中立体几何，要求学生有足够的空间想象能力，而把已知条件中的空间几何体转化为平面几何图可以大大降低题目难度，因此，充分研究立体几何问题如何转化为平面几何问题能够加强立体几何题型的解题能力，增强转化思维在立体几何中的应用，于我们高中生而言具有积极意义。

一、立体几何问题转化为平面几何问题的价值

平面图形的解题相对来讲较为简单，而立体几何问题具有空间思维特性，需要不断的进行空间想象才能解决问题。然而通过维度之间的转换，将立体图形转变为平面几何图形能够降低解题难度，让我们能在较短的时间内找到解题思路。图形的转换思想也是高中数学学习过程中必须掌握的技能之一，将特殊问题转变为一般问题，提升解题效率[1]。与此同时，也能够增强逻辑思维能力与转换能力，在日后的学习过程中，针对难度系数较大的数学问题通过转化思想简化问题，进而求得问题答案。

二、具体应用

（一）转化思想在立体几何中的应用

1.简述转化思想

究其根本便是从一个问题转化为另一个问题，主要精髓是化繁为简、将抽象问题具象化，这样能够大大减少解题时间以及精力，同时能够提升正确率。在高中数学学习过程中，立体几何问题学习起来较为困难，常表现为无法将其从三维空间图形转化为二维平面图形，存在降维上的障碍，无法做到空间图形平面化，抽象问题具象化。在解题过程中缺乏连贯性，无法察觉其中联系。

2.具体应用

以平面角的大小，来解决直线与平面所成的角等空间角问题。

比如，直线之间所成的角、直线与平面之间所成的角以及平面与平面之间所成的角。在解决该类问题过程中合理利用转化思想便能够利用平面角代替空间角，再通过判定定理与相关性质解决问题。异面角的定义如下：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面角。这种描述方式过于抽象，无法真正体会个中含义，必须用准确的数学语言或图形将其关系具体化，用准确的数学量进行刻画。也就是用平面角来刻画两异面直线的“交叉”程度，用平面距离来刻画两异面直线的“相离”程度。两条直线所形成的角通常不会大于90度，一旦超过90度也就不满足异面角的定义。因此在空间上认为异面直线的平行线所形成的角在90度以内便是异面角。在计算时通过将异面直线进行平移，进而求得问题答案。

例如：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8。求异面直线B1C与A1C1所成角的大小，见图1。

将空间角转化为平面角，连接AC，因为该几何体为正四棱柱，所以AC与A1C1平行，则B1C与A1C1的夹角可以转化成B1C与AC的夹角，故∠B1CA为异面直线B1C与A1C1的夹角。AB=BC=4，得出AC= ，AA1=BB1=8，AB1= ，∠B1CA= ，通过转换思想将空间角转换为平面角实现问题求解。

（二）简化图形法将立体几何图形变为平面几何图形

立体图形问题中通常与平面图形具有较大差异，因此在解题过程中建议先将其底面图形展示出来，结合俯视方法寻找答案，借助斜二测画法画出空间几何体的直观图。

例如，PO⊥平行四边形ABCD，AC与BD相交于O，∠ADC为45度，AD=AC=1，PO等于2，M为PD中点，求得MA与平面ABCD所形成的角的正切值，见图2。

根据已知条件，数量与位置关系都在底部图形，所以只需要将底面图形画出来即可寻找到问题答案。作出MH⊥BD，见图3。即可证明MH垂直于平面ABCD，且H为OD的中点，MH=OP/2=1。

根据ABCD可以看出，其为两个等腰三角形合并而成，因此能够轻易得出AO=1/2，∠DAO=90。，OD= ，∠MAH即为所求角。AH=OD/2= ，在直角三角形AHM中，tan∠MAH=MH/AH= 。

在此题中，还需灵活使用题干条件中的中位线、等腰三角形等条件。在关于线面平行的证明题中，通常都需要确定空间位置关系。当平面图形中有三角形中点时可以考虑构造中位线，充分利用中位线的性质定理，将中位线等于底边一半的大小关系等性质融入解题过程中，进而将空间图形转换为平面图形[2]。

（三）其它应用

除上述两种方法外，还有如下转换方法：

一是空间角的平面化，主要是指异面直线所形成的角、直线与平面所成的角以及平面之间所成的角。将空间角转化为平面角时要根据已知理论与判定将之间联系清晰展现，根据概念画出有关的空间角，再转化为平面角进行解决。

二是空间距离平面化，立体几何中的距离问题通常都是两点之间的距离，将空间距离平面化便是其理论依据。求直线的距离可以转换为求其公垂线长度，或直线平行于平面间的距离，或者求两个平面之间的距离。都能够将空间距离平面化，进而求得两点之间的距离。

三是三垂线方法，平面的斜线与该平面内的直线是否垂直通常都是空间问题，而通过三垂线方法能够将空间问题转化为平面问题，根据该斜线的垂直情况来判定其是否具有相关性质，因此在空间几何与平面几何问题中，通过互相转化能够轻易得出问题的答案。

例如，已知两条异面直线a，b形成夹角θ，公垂线段长度为d，在a，b直线上分别取点E、F，设A1E为m，AF为n，求EF，见图4。

此题可以看出主要求得两条异面直线上的点之间距离，因条件比较分散且繁杂，因此需要将其转化为平面几何问题。根据异面角定义，作出a的平行线将a，b移动至同一平面内进行解答，经过条件的转移，将相对分散的已知条件集中解决，使得空间问题转化为平面问题。

与此同时，在日常学习中，应深入研究课本中的知识，挖掘空间问题转化为平面问题的新型解题思路，将遇到的典型题型进行总结，升华解题技巧。

结论

综上所述，立体几何问题在转换为平面几何问题的过程中，需要将空间思维平面化，同时充分利用平行、垂直等位置关系将立体图形转换为平面图形。同时，尽可能简化立体图形，根据问题中的题设将分散的已知条件集中起来，将抽象问题具象化，提升立体几何问题的解题能力。

参考文献：

[1]张梅花.立体几何图形教学三步曲[J].教育，2015（04）：62.

[2]邵文武.立体几何问题解决中的转化方法[J].中学生数学，2014（05）：34-35.