基于线性响应面法的机床几何误差灵敏度识别*

肖龙帆，杜群贵，吴 磊，翟晓晨

(1.华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640; 2. 重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044)

0 引言

影响机床加工精度的各类误差中，机床的几何误差占总误差源约50%[1],因此机床几何误差的分析与控制对当前机床精度分配有重要的意义[2]。

目前机床几何精度建模模型主要有三角关系与矢量模型，解析二次模型，变分模型，刚体运动学模型，齐次坐标变换模型以及多体系统模型[3];多体系统模型是目前相对最优模型形式[4]。国内有部分学者已经对机床误差参数灵敏度进行了分析。黄强[5], 金增楠[6]等人在假定机床各元素误差与最终加工精度满足一定的线性关系下，通过把各误差元素参数代入原精度模型，以最后的误差结果量化各误差元素的灵敏度，并对其进行了归一化；程强[7]，范晋伟[8]等人主要是利用矩阵微分法对精度模型各误差元素求一阶偏导，从而求其灵敏度。

当机床部件涉及较多的线性轴与旋转轴时，其精度模型呈现高度的非线性且各几何元素会产生耦合，几何误差元素间具备一定的相关性[9-10]。因此当机床涉及的几何误差元素较多，且几何元素间的耦合关系复杂时，宜采用数值模拟法对机床几何精度参数的灵敏度进行估计。

本文对5轴数控卧式铣床进行几何精度模型灵敏度分析。为了识别出对机床几何精度模型影响较大的关键性几何要素，首先基于多体理论与齐次变换原理建立了5轴数控卧式铣床几何精度模型，之后在线性响应面法的理论上，建立一种对机床几何精度解析模型灵敏度识别的数值迭代算法，并通过MATLAB编程与计算识别出五轴数控卧式铣床各几何误差要素的精度灵敏度。通过对机床几何误差参数灵敏度的计算分析示例，从而为该机床的几何精度控制提供理论依据与参考。

1 数控机床几何精度模型建立

1.1 机床的几何误差

该5轴数控铣床配备FANUC数控系统，具备AICCⅡ高精度轮廓加工。其结构模型图如图1所示，该5轴数控铣床共涉及X,Y,Z,W,C,A共6个运动轴，其中X,Y,Z为按照机床运动坐标方向的直线移动轴，W为滑枕导轨方向的直线移动轴，C为工作台旋转轴，A为滑枕摆动轴。

1.床身 2.X向滑台 3.数控旋转工作台 4.底座 5.Z向移动立柱 6.Y向滑台 7.数控摆动滑枕 8.W向主轴箱 9.主轴(包括刀具)

图1五轴数控铣床模型图

根据多体系统理论[7]，把机床各组成部件分为相应的“体”，其中床身与底座由于固结在一起，故视为一个整体，并按机床床身(底座)→X向滑台→数控旋转工作台分支，和机床床身(底座)→Z向移动立柱→Y向滑台→数控摆动滑枕→W向主轴箱→主轴(包括刀具)分支分别对其编号，图2为其对应的拓扑传递结构。理想状态下，刀具点B与工件点A应该重合，但由于传动部件的误差，刀具点B相对于工件点A将存在误差矢量ΔE。

图2 机床拓扑结构传动链示意图

依据刚体6自由度误差假设理论，刚体在运动过程中必然产生6项自由度的误差(3项线位移误差，3项角位移误差)，对于该五轴数控铣床，7个运动体在空间中的将产生42项误差，根据实际误差模型分析需要，除了主轴的回转角度误差不做考虑之外，X,Y,Z三个直线移动轴两两间存在3项不垂直度误差，因此，该五轴机床共涉及44项误差参数，如表1所示,其中x,y,z,w,θc,θa,θs为各运动体的位置参数。

表1 5轴数控卧铣机床几何误差参数表

1.2 5轴数控卧铣机床的几何精度模型

如图3所示，为机床的机构运动简图，图中Si(i=1,…,11)表示与机床结构相关常量,Oj(j=1,…,7)表示机床运动体的刚体坐标系，编号与图2中的多体编号一致。

图3 机床机构运动简图

由图3可得机床无误差下的各运动体的理想位置变换矩阵为：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，Ti-j为运动体坐标系i相对运动体坐标系j的理想位置坐标变换。

在实际机床部件运动中，机床受44项误差几何元素的影响，并且随着位置参数x,y,z,w,θc,θa,θs变化而变化[11]，相应的误差特征矩阵为：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，ΔEi-j为几何误差作用下运动体坐标系i相对运动体坐标系j的坐标变换。

另外,X轴与Y轴的不垂直度误差εvxy,Z轴与Y轴的不垂直度误差εvzy以及X轴与Z轴的不垂直度误差εvxz,其相应的误差特征矩阵为：

(15)

(16)

(17)

式中，ΔEvij为i轴相对j轴的不垂直度误差齐次特征变换矩阵。

由式(1)、式(2)、式(8)、式(9)可得工件点A最终的偏差位置为：

EA=T1-0ΔE1-0T2-1ΔE2-1wA

(18)

式中，wA——工件加工点在工件坐标系的坐标矢量。

由式(3)～式 (7)，式(10)～式 (16) 可得刀具点B最终的偏差位置为：

EB=ΔEvxzΔEvxyΔEvzyT3-0ΔE3-0T4-3ΔE4-3T5-4

ΔE5-4T6-5ΔE6-5T7-6ΔE7-6wB

(19)

式中，wB——刀具加工点在刀具坐标系的坐标矢量。

因此最终的加工偏差可表示为：

(20)

2 机床几何精度模型灵敏度识别

由式(20)，可得机床几何精度模型可表示为：

ΔE=G(U,wA,wB,D,S)

(21)

式中,U——n个机床部件几何误差组成的误差矢量。

U=(Δe1,Δe2,…,Δen)T

Δei——机床部件的几何误差，i=1,2,…n；D——机床各运动体的位置矢量。

S——机床结构常量。

当选定机床某一空间位置时，wA,wB,D,S为固定值，此时ΔE为关于U的多元连续可微函数，由文献[7]可知，当U中各几何误差变化较小时，可以忽略对ΔE泰勒展开项中高次项的影响，从而用一次项线性函数代替ΔE，本文在此基础上，利用线性响应面法对ΔE进行一次线性拟合，从而避免了对原函数求偏导的步骤，最终实现对精度解析模型的灵敏度识别。其计算流程如图4所示。

图4 灵敏度识别计算流程图

其求解步骤如下：

(1)选取一组工作位置矢量D

(2)设定ΔEm(m=x,y,z)线性响应面模型为:

(22)

(23)

式中，f(k)——插值系数;f(k+1)=(f(k))0.5,f(1)取1/6～1/2;Tei——各个几何误差元素的公差。

通过n+1个样本点，可以通过式(20)求得第k次迭代下各样本点处的样本值。

(24)

(25)

(6)计算如下精度判别式

(26)

(27)

式中，h取1/3～1/2。

3 分析示例

考虑到篇幅的限制，仅列出部分零部件运动体的几何误差项与公差项，如表2所示。

表2 各项检测项目及公差

在机床工作空间中选定一组工作位置矢量(1607.7,240,69,96.5,0,0)，利用MATLAB编程计算，求得机床三个方向下各几何误差元素的影响系数如表3所示。

表3 各误差元素对Δx, Δy, Δz的影响系数

由表3可知，角度误差的灵敏度较大，各轴的垂直度灵敏度均占一定的比重，因此在该五轴机床几何精度装配调整中，应优先保证各运动轴间的相对角度偏差，即平行度误差与垂直度误差。

不同切削工况下加工敏感的方向不同，就铣削平面而言，Δz为加工敏感方向，对表3中Δz一列进行整理，得出机床各运动部件在Δz方向的贡献率，其中不垂直度误差εvxz，εvzy均是通过立柱导轨滑块的配磨垫片来调整，故将其作为立柱部件的一部分，而其它误差是机床各个运动部件位移与角度误差的总和，其占比仅3.46%，故不作为考虑重点，最终的结果如图5所示。

由图5可知，立柱部件在Δz方向的贡献率达到了66%，其余部件所占比重都比较小，因此在铣削平面时要控制好立柱的几何精度，同时就立柱本身而言，由表3中Δz一列可知，立柱Z向运动轴与X向滑台运动轴的不垂直度误差影响系数达到了33.18%，其次为立柱Z向运动时相对X-Y面的平行度(εzx,εzy)，其影响系数为18.34%，最后为立柱Z向运动轴与Y向滑台运动轴的不垂直度误差，其影响系数为13.94%。

图5 五轴铣床Z向各部件影响因子

由于在机床实际装配调整中，线性轴的不垂直度误差都是一并调整，因此重点控制立柱Z向运动轴与X,Y向运动轴的垂直度精度有利于提高Δz向的加工精度。

4 结论

(1)利用多体理论与齐次坐标变换的方法，建立五轴数控卧铣机床的几何精度模型。

(2)在原几何精度模型的基础上，利用插值抽样技术提取样本点，从而建立机床几何精度线性响应面模型，通过迭代算法设计，从而识别出机床的关键几何误差元素。

(3)计算示例表明，在该五轴数控卧铣机床的几何精度灵敏度分析中，应优先保证各运动轴间的平行度误差与垂直度误差达到精度要求，同时对于铣削平面而言，控制立柱Z向运动轴与X,Y向运动轴的垂直度精度(εvxz,εvzy)，有利于提高铣削平面时的加工精度。

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(编辑李秀敏)