初中数学建模教学常见的几种模型

2018-04-14张效国

中学课程辅导·教学研究 2018年8期

◎张效国

数学建模在初中数学教学中起着很重要的作用，其中有很多知识可以通过建立数学模型来教学，通过建模学习后，学生对知识的掌握将会更牢固，在解答问题时将会更加得心应手．那么在初中阶段有哪些数学知识可以通过数学建模的形式来解决呢？现就此问题谈一下自己的看法．

一、方程（组）模型

方程（组）是研究数量关系最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：针对给出的问题，设合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否符合实际要求．

例1、王老师家在商场和学校之间，离学校1千米，离商场2千米．一天王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到学校迟到20分钟．已知骑车的速度是步行的2．5倍，买奖品的时间为10分钟．求骑车的速度．

分析与解答：王老师从家到商场再到学校一共走了5千米（可以通过画示意图来说明）假设步行的速度为x千米／小时，那么，骑车的速度是2．5x千米／小时．根据题意可知骑车用的时间比原来步行多用10分钟，因此可列分式方程：解这个方程得，x＝6，2．5x＝2．5×6＝15，所以骑车的速度是15千米／小时．

例2：（2013，益阳）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张的进行，现有大量的砂石需要运输．“益安”车队有载重量8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨砂石．

求“益安”车队载重量8吨、10吨的卡车各有多少辆？

分析与解答：假设8吨的卡车有x辆，10吨的卡车有y辆，那么8吨的卡车一次能运8x吨，10吨的卡车一次能运10x吨．根据题意列方程组得：，所以，载重量8吨、10吨的卡车各有5辆和7辆．

以上两个实际应用问题就是应用方程或方程组的模型来解决问题的典型问题，我们在教学时一定要引导学生学会用这种模型来解决问题．

二、不等式模型

日常生活中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值．但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识．

例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．请问：有多少辆汽车？

分析与解答：假设有汽车x辆，则该批货物共有（4x＋20）吨，（x－7）辆装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，说明它的载货在0到8吨之间，根据题意得：0＜4x＋20－8（x－1）＜8，解之得：5＜x＜7，x只能取整数，所以x＝6，因此共有6辆汽车．

上面的例题是数学中的分配问题，其他问题如价格问题、工程问题、行程问题、方案选择和设计问题都可以应用不等式模型来解决，因此，不等式模型在初中数学教学中要积极加以渗透．

三、函数模型

课程标准中指出，能用适当的函数来解决某些实际问题中变量之间的关系变化，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能用一次函数，二次函数等来解决简单的实际问题．在学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生的头脑中已经有了这些函数的模型．因此，一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决．

例：某商人开始时将进价为每价8元的某种商品按10元出售，每天可出售100件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种商品每提高1元，则每天的销售量就会减少10件．

（1）写出售价x元／件与每天所得利润y元之间的函数关系式．

（2）每件售价为多少元时，才能使一天利润最大．

分析与解答：因为要提高售价，所以x＞10，因此，在10元售价的基础上提高了（x－10）元，就会少买10（x－10）＝10x－100件，因此，售价 x元／件与每天所得利润y元之间的函数关系式是：