掌握运算方法 提高学生数学运算素养

☉江苏省金湖中学 陈万斌

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.数学运算是计算解决问题的基础.

在数学运算核心素养的形成过程中，教师要不断培养学生数学运算能力；利用运算方法解决实际问题；通过实际运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

一、寻找规律，提高算速

所以{an}值具有周期性特点，且T=3，所以a99

例2 已知数列{an}的通项为an=7n+2，数列{bn}的通项为bn=n2，若将数列{an}与{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后记作{cn}，则求c9的值.

解析：因为an与bn中有相同的项，则{bn}中的项则满足除以7余2的特点，即b7k±3=（7k±3）2.

故这些项为：32，42，102，112，172，182，242，252，312……

因此c9=312=961.

二、抓住特征，寻求算法

解析：如图1，不妨设半径R=1，点D在优弧A（B上，所以5O—→A+12O—→B=13O—→C.把它两边平方

52+122+120—O→A·—O→B=132.②

所以由②知，O—→A·O—→B=0，所以∠AOB=90°，

图1

所以由①知，∠ACB=135°.

例4 数列{an}与{bn}分别满足n∈N+，且a1=5，b1=2，b2，a2，b4成等比数列，2，b2，a2-2成等差数列.若数列{cn}是由数列{an}与{bn}相同的项依次组成的新的数列，则数列{cn}是什么数列？证明你的结论，并求出其通项公式.

解析：由题意可知，an=3n+2，bn=2n，且2n被 3整除余2，

因为4m·2被3整除余2，则cn=2×4n.

三、理解题意，巧妙运算

例5已知（fx）=x2+ax+b值域是［0，+∞），如不等式（fx）＜c的解集为（m，m+6），求c的值.

方法1：分类讨论利用图像解题.

解析：（1）当a＞0时，有下列情况：

①当a≥2时，函数y=f（x）图像如图2所示，在R上是单调增函数，不满足题意；

②当0＜a＜2时，函数y=f（x）的图像如图3所示，满足题意；

③当a=0时，满足题意（图略）.

图2

图3

（2）当a＜0时，函数y=f（x）的图像如图4所示，满足题意.

综上可知，a的取值范围是a＜2.方法2：认清本质，转化题意.由题意知，函数不是单调的.

解析：由题意知，当函数是单调的，函数只能是单调增函数，即a＞0.

图4

所以a的范围是a＜2.

四、缩小范围，减少运算

例7 已知数列{an}，a2=1，前n项和为

（1）求a1.

（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式.

解析：（1）a1=0（略）.（2）由题意可知，an=n-1（证明略）.

五、学会预估，运算持续

例8已知函数f（x）=ax+xlnx的图像在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3.

（1）求实数a的值；

（2）若k∈N*，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值.

解析：（1）a=1（过程略）.

而x0是直线y=x-2与曲线y=lnx（x＞1）交点的横坐标，由图5易知，

所以H（x0）∈（3，4），又k对任意x<1恒成立，所以正整数kmax=3.

图5

六、数形结合，灵活运算

解析：运用几何意义解题.

由题意知，BA+BC=2AC.

不妨设AC=2，以AC的中点为原点和AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可知点B轨迹是以A，C为焦点的椭圆（除去A，C两点），如图6.

图6

由几何意义知，点B为短轴端点时∠ABC最大，

七、排查干扰，准确运算

（1）求椭圆方程；

图7

（2）如kBD=k1，kAM=k2，求证：存在常数λ，使得k1=λk2；

（3）求（S△OMN）max.

解析：（1）不妨设直线y=x与椭圆C一个交点为H（n，n）.

运算是学生最最基本的一种数学能力，任何数学的表达和结果都是通过运算来展现的.教师要在平时教学中，留有时间让学生运算，培养独立运算的意识和习惯；培养学生不畏运算、敢于运算、坚持运算甚至喜欢运算的品质，掌握进行运算方向的选择、优化算法、科学设计运算步骤的方法，达到条理运算、准确运算的能力，并从运算中学会表达、形成严瑾的科学态度和求实精神，努力提高学生的数学运算素养.J