一道高考试题的再探究

☉江苏省东台中学 房 胜

椭圆是最重要的圆锥曲线之一，其知识点是历年高考的必考内容，且在高考试卷中所占的分值比重较大，在选择题、填空题、解答题等各类题型中均有体现，多以中档题为主，而高考对椭圆离心率的考查频率更高，本文便从2017年的一道高考试题谈起.

一、真题重现

【高考真题】已知P是以F1、F2为焦点的椭圆（a＞0，b＞0）上的一点，使得∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率取值范围是______.

图1

思路分析：在椭圆的焦点三角形中，求离心率问题时，椭圆的定义、余弦定理和基本不等式是常用工具.

解析：由于椭圆的离心率只与椭圆的形状有关，故不妨以焦点在x轴为例.如图1，设|F1P|=m，|F2P|=n，根据椭圆定义知，m+n=2a，|F1F2|=2c.

在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncos120°，整理得mn=4a2-4c2.而据基本不等式有mn≤当且仅当m=n时，取等号.

点评：这道中档离心率的问题，解答起来并非十分困难，只要对椭圆的定义清楚，余弦定理和基本不等式熟练掌握，问题便可解决.可是，高考时，时间精确到分分秒秒，时间便是分数，考生必须在规定时间内作答，所以，答题时所采用的解题方法对考生的成绩也有非常大的影响.那么，此题有没有更优的解法呢？

我们先来思考这样一个问题：点P是椭圆上的任意一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，当P在何处时，∠F1PF2最大？

如图2，设|F1P|=m，|F2P|=n，∠F1PF2=θ（0≤θ＜π），根据椭圆定义知，m+n=2a，|F1F2|=2c.

图2

在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncosθ，整理得.由于余弦函数在（0，π）上单调递减，所以要使θ最大，则cosθ最小，而当mn取到最大值时，cosθ最当且仅当m=n时，mn取到最大值，此时点P为椭圆短轴的端点.因此，有如下结论：

结论1：若点P是椭圆上的任意一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大.

有了这一结论后，我们再来看这道高考题：既然题目已知∠F1PF2=120°，说明当点P为椭圆的短轴端点时，所成角应不小于120°，如图3，即60°≤∠F1QO＜90°.

所以sin60°≤sin∠F1QO＜sin90°，

显然，比上面的常规解法要便捷得多.

二、结论应用

图4

应用1：已知F1、F2为椭圆（a＞b＞0）上的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF—→1·PF—→2=0，求椭圆的离心率的取值范围.

解析：要使PF—→1·PF—→2=0，即∠F1PF2=90°，根据结论1，只有当∠F1PF2达到最大时度数不小于90°，椭圆上才能存在使∠F1PF2=90°的点P，如图4，所以∠F1PO≥45°，

图5

三、结论延伸

好了，有了结论1的基础后，若把结论1中的焦点F1、F2改成椭圆长轴的两个端点A，B，那么新结论还成立吗？

若点P是椭圆上的任意一点，A，B为椭圆长轴的两个端点，当点P为椭圆的短轴端点时，∠APB最大？

我们不妨来证一证：

如图6，根据椭圆的对称性，不妨在第一象限的椭圆曲线上取点P（x，y），过点P作PH⊥x轴，垂足为H.

设∠APH=α，∠BPH=β，

图6

结论2：若点P是椭圆上的任意一点，A，B为椭圆长轴的两个端点，当点P为椭圆的短轴端点时，∠APB最大.

对于结论2，我们再举一例，巩固一下：

图7

解析：根据结论2可知，∠APB最大时，其度数应不小于120°，即∠AQO≥60°，如图7，根据正切函数的单调性，有tan∠AQO≥tan60°，所以所以a2≥

掌握文中所述的两个结论，对此类椭圆中的离心率问题的解决，必定水到渠成、得心应手.J