以“对话”促成开篇 用“起始”助推整章

☉浙江省安吉县昌硕高级中学 张有才

众所周知，数学知识的学习，难在对章节的起始概念的掌握，而每章的起始课大都是概念课，概念教学则成为当下数学教学的难点.笔者发现，当下的数学概念教学往往是“以赛代练”，更多的是通过解题训练达到对知识的理解，这种做法是有失偏颇的.

李邦河院士说过：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的.技巧不足道也！”数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，蕴含了最丰富的创新教育素材.高中数学起始课概念多，好的概念教学能够彰显数学育人的价值.因此章节起始课的教学是需要重视、值得研究的，毕竟“良好的开端是成功的一半”，要坚信“万物起始，生机勃勃”.

因此，上好章节起始课、扎实地理解数学概念，一方面能够让学生了解本章的知识内容、研究方法和数学思想，另一方面也是培养学生对本章学习兴趣的最好时机.因此，形式化的内容需要教师用非形式化的手段进行演绎，“对话”教学就是这样的一种教学模式，其是要达到课堂教学的人性化，体现学生的创造性的教学思维和理念.“对话”教学不仅仅是简单的师生问答，而是师生的交流、相互地倾听和情感的分享.本文以《必修4》第一章《基本初等函数Ⅱ（三角函数）》的起始课《任意角》为例，谈一谈如何实现知识和对话的良好衔接，恳请读者批评指正.

人教A版教材中很多章节的起始课都有承前启后的作用.教师需要了解学生已有的知识结构和认知水平，找到学生的最近发展区，提出恰当的问题让学生参与到课堂活动中，让学生跨越新旧知识之间的距离，体会它们之间的联系.从而更好地掌握新的知识内容和思想方法.

一、“对话交流”，开篇本章

本课是《三角函数》的“开篇”，学生已经在初中的时候学习过锐角的三角函数，对角和三角函数的定义有了一定的了解.

师：我们之前学习过了指数函数、对数函数、幂函数，它们刻画了生活中的某些规律，生活中具有变化规律的现象还有很多.如体操运动员向内、向外转体720°；扳手拧开螺丝按逆时针转270°，再拧紧螺丝需按顺时针方向转270°.你发现了什么规律？

生1：都是角度问题.

生2：都是超过180°的角.

生3：都是转动问题，还有转动的方向.

师：角是怎样定义的？

生：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角.

师：范围是什么？

生：0°到180°.

师：那上面的例题中出现的都与角有关，初中定义的角不够用了，需要重新定义，你们认为确定一个角需要什么要素？

生：需要角的度数和方向.

意图：教师通过与学生的“对话”创设情境并回顾旧知.解决好两个问题：第一，为什么要学习本章内容；第二，从哪里入手.初中的角的定义不能研究不在0°到180°范围之内的角的问题.这里需要强调“定义一个新概念的方法”，确定一个“任意角”的条件——旋转量和旋转方向.任意角不仅可以取任意大小的角，而且还有方向.通过“对话”构建本章的基本研究思路的教学，为整章学习打好基础.对话干练，不拖泥带水，能够比较快地切入正题.

二、“类比探讨”，得出概念

“类比思想”是数学学习中的重要方法，通过类比能让学生通过已有的知识进行拓展和再发现，能很好地培养学生的探索精神.但与什么知识去做类比，或是与什么思想方法去做类比，是学生的能力不可及的，所以教师要通过“对话”抛出类比的对象，再让学生进行思考，从而有的放矢.

师：有了度数和方向，角是通过什么方式得到的呢？

生：通过初中学习的角的概念，角是可以由一条射线“转”出来的.

师：那方向如何确定呢？

学生讨论结果：用逆时针和顺时针来确定方向.

师：逆时针方向旋转，顺时针方向旋转？如何区分？之前有没有学过一对相反的量的表示？

学生讨论结果：正数和负数.

师：用正、负数表示具有相反意义的量，以及确定一个“平面图形的旋转”的“三要素”，给定角的始边，只要确定了旋转的方向和旋转量，这个角就唯一确定了.

意图：为了表示不同方向的角，需要引进正角、零角、负角等概念.教师通过“对话”给出类比的方向，让学生通过“生生交流”类比“相反意义的量”和“负数的引入”得出角的概念.如果用同样地类比“单位长度”来度量角和弧长的话，两者就可以统一.这样就可以把角推广到“任意角”、引进“弧度制”.为下一节课作好准备.对话中不断叠加问题，从而引出知识线索，一个问题一条线索地走下去，知识概念自然“水到渠成”.

三、“思维冲突”，总结方法

当提出一个问题以后，学生总会很多不同的想法，这是学生思维的亮点.所以可以有意提一些灵活或开放性的问题，让学生的“思维亮点”、“思维冲突”充分表现出来，让学生经历思考的过程，从“冲突”中感受知识产生过程.

师：有了定义后，请你们用图形表示一下-120°的角.

三位学生板演：

师：图为什么不一样？

生：因为始边选择的不同.

师：有什么能统一表示的方法吗？

同桌讨论结果：将角放入平面直角坐标系.

师：怎么放？

生：（板演：将角的始边放在x的非负半轴）

师：大家再画-120°的角一样吗？

生：一样了.

意图：角除了用度数表示外，还可用“形”表示.教师让学生展现他们的“思维冲突”，体现思维的不同点，从而统一角的始边与x轴的方向相同，那么任意角就只与它的终边相关.渗透了标准化、简单化、对应等思想，在统一“参照系”下，可使角的讨论归结为终边的问题，问题得到简化，并有效地表现出终边位置的“周而复始”.由此可以让学生理解下面象限角定义.

四、“及时追问”，归纳性质

要构建“对话”教学的课堂教学模式，“及时追问”是“对话”的一种重要手段.通过追问来促使学生对知识进行更深入的研究和分析，对概念进一步的理解和展开其性质的研究.

师：定义角度终边落在哪个象限，就称这个角为第几象限角.-120°在第____象限.

生：第三象限.

师：-90°呢？

生：不是象限角，终边没有落在坐标轴上.

教师安排活动，请一位学生说出角的大小，其他同学回答该角是第几象限角.

师：-20°，-380°，340°，700°？说出你是如何判断这些角所在的象限的？

生：-380°=-20°-360°，一周是360°，所以-20°和-380°的终边是重合的.

师：给定一个角的终边，它所对应的角有多少个？

生：无数多个.

师：它们之间有什么关系？能用数学表达式来表示吗？

生：β=-20°+k·360°（k∈Z）.

师：请写出与30°终边相同的角.

生书写.

师：那么与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为______.

生：{β|β=α+k·360°，k∈Z}.

意图：当学生回答完问题的时候，及时针对学生的回答“追问”，能让学生及时思考新的问题与刚才问题的关系，迅速得出新知，“追问”能让加强学生思维的敏捷性，并提高课堂效率.趁热打铁，事半功倍.对话中教师感受了教学的成功，学生深刻体会了概念的生成.本课以“对话”为发展的主线，立足于充分发挥数学的内在力量，发展学生数学思维能力，培育学生的理性精神，使学生逐步学会认识问题、解决问题的方法，针对“三角函数的开篇”的内容特点，以“研究一个数学对象的基本套路”为指导，让学生经历“背景—定义—表示—性质”的过程研究“任意角”.

综上，起始课注重“对话”，启迪思维，充分体现新课程理念.学生在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质.教师善于启发，善用追问，善于倾听，体现“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的启发式教学的本质内涵.古代大教育家朱熹言：读书无疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进.以“对话”推进章节起始课的开展，让学生经历完整的数学概念形成和研究过程，感受数学思想方法的过程.“对话”引领的课堂教学中教师更注重精心设计学生活动，根据学生的认知规律安排教学活动，注意根据概念教学的基本规律安排教学进程.采取“对话”引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将转变学生学习方式落到实处.注重学生参与，教师力求精讲多问，将学生推向前台，让学生表达、板演、总结，教学过程中学生主体意识进一步加强，让“冰冷的美丽”在课堂中充满“火热的思考”.

参考文献：

1.沈顺良，王丹群.从一章起始课看数学教学中的三种语言转换——认识不等式案例分析［J］.中学数学（上），2010（5）.

2.张志军.提高高中数学课堂教学效率的策略［J］.广东教育，2007（10）.

3.余建国.让章节起始课的教学设计更大气［J］.数学教学研究，2014，33（9）.

4.李学军.起始课，能否承载更多——基于人教A版起始课的教学设计与思考［J］.中国数学教育，2012（24）.J