初中数学思维情境创设的若干思考

储松苗

[摘 要] 良好的思维情境能够引发学生的认知失衡，需要学生在情境中有所感悟、有所发现，需要在质疑追问中体味数学，而思维情境价值的彰显则需要学生在情境中善于总结与反思. 本文以沪科版初中数学函数概念教学为例，阐述上述观点.

[关键词] 初中数学；思维情境；正比例函数

数学是思维的科学，有效的数学学习过程一定是数学思维得到充分利用并提升的过程. 教学经验表明，学生在调动思维的时候并不是轻而易举的，一定是需要外力策动的——比如说我们通过问题来驱动学生思维，这就是最基本的策动方式之一. 但可以肯定的是，简单甚至机械的问题提出，对学生的思维驱动作用是有限的，有时甚至是起相反作用的. 真正有效策动学生思维的应当是“情境”，因而思维情境的创设才是数学教学中需要重点思考的内容. 笔者有限的实践表明，思维情境的有效创设，可以让学生的数学学习过程处于良好的心境当中，从而可以保证学生学得有趣、学得有效. 本文试以沪科版初中数学“正比例函数”的教学为例，进行相关观点的总结与阐述.

思维情境的创设需要认知失衡

思维情境不同于一般的学习情境，后者往往以形象的事与物作为情境创设的重点，强调学生在数学学习中的“物境”，比如说具体的数学实验器材、一个相对真实的与数学相关的生活情境等. 思维情境更多地侧重于学生在学习过程中的思维，强调的是围绕学生的数学学习营造一个“思维场”. 思维情境要想发挥作用，首先需要学生入境，从思维的角度来看，学生走入思维情境的关键在于认知上的失衡. 因为只有认知失衡了，学生才会自然地产生追求认知平衡的念头. 初中数学教学中，思维情境需要具有驱动学生兴趣、吸引学生注意、引发学生思考，进而让学生的认知产生失衡的作用.

沪科版数学教材中，“正比例函数”这一内容的教学是以“函数的概念”教学为基础的，而函数概念的教学又是以理解变量与函数两个基本概念为基础的，因此在创设思维情境的时候，就不能离开这两个要素. 更具体地说，就是要研究学生建构函数概念时已有的认知基础，然后结合函数教学目标来创设思维情境. 基于这样的思考，笔者的设计是这样的：首先，让学生基于自己熟悉的场景进行描述，如描述自己的身高、体重，描述教室的长度、高度，估计课桌的面积等，这是一个将“数”与“量”结合起来描述某一事物特征的过程. 在这个描述中，学生会自然总结出这一描述方式的特征；其次，给学生提供一个智力题：如果有一根长为l的绳子紧绕在赤道上，现在要让绳子处于离赤道1米的高度，那这根绳子要增加多长？学生在思考这个问题的时候，通常会直觉性地认为需要增加的长度是很长的，而计算下来实际上只增加π的长度，于是学生在惊讶之余就开始思考“增高1米”与“增长多少”的关系，而这正是函数概念建立所需要的变量与函数的概念.

在这个思维情境创设的过程中，学生原本是有认知基础的，而在探究之后，这个认知又被打破了，并建立了新的认识，有了这个认识作为基础再去建立变量与函数的概念，效果就是很好的，学生的思维是高效的.

思维情境的利用需要感悟发现

初中数学学习中，学生的思维常常有形象思维与抽象思维两种，前者通常以抽象后的数学形象（表象）作为加工对象，而后者更多的是基于数学逻辑关系做出的推理. 当然，数学学习的过程中也离不开一些直觉思维，而由于学生的认知基础与思维方式不同，直觉思维在发挥作用的时候总有对错，但这对于数学学习过程来说都是有积极意义的，我们在研究思维情境的时候，一个基本认识就是：只要学生进入了思维的状态，那数学学习过程就一定是高效的.

这里需要强调的是，在进入思维情境之后，学生的感悟是非常重要的. 感悟是一个相对复杂的过程，有多种思维方式在发挥综合性作用，有感悟才会有新的发现，没有感悟那就谈不上真正的思维情境.

例如，在学生经由上一点的思维情境认识到函数是通过变量来描述的之后，怎样才能让学生建立由数学语言描述的函数、自变量、解析式等概念呢？显然，这个思维情境是需要进一步推进的，而这个思维情境则是可以由具体的实例来实现的. 比如说给学生一个汽车行驶耗油量与行驶里程的关系：一辆在高速公路上行驶的汽车，每百公里耗油10 L，如果汽车里原有80 L油，那剩余油量与行驶里程之间满足什么样的关系呢？

这样的问题抛出之后，学生的思维就会围绕“剩余油量”“每百公里油耗”“行驶里程”等概念进行思考，同时也会利用此前所习得的数学知识，建立三者之间的关系. 待学生用文字或自设的符号表示出这一关系之后，再引导学生从变量角度思索这一实例，不少学生就开始了感悟：消耗的油量决定于每百公里耗油量与行驶里程，而剩下的油量决定于原有总油量与消耗的油量，那这个关系就明确了……这样的一个思维过程中，学生在教师简要的指导之下，迅速感悟到不同量之间的关系，并下意识地用表达式来表达这样的关系. 这样一个学生自主发现的过程，其实就是处于思维情境中的学生通过感悟有所发现的过程.

在实际教学中，这样的情形并不鲜见，但很少有从思維情境角度来予以解析的. 在笔者看来，这样的成功教学案例，给教学最大的启发就是思维情境要高度重视学生的自主感悟，尽量让学生通过感悟有所发现，这样可以让学生的主体地位得到保证，可以让学生的自主建构过程支撑重要数学概念与规律的学习.

思维情境的拓展需要质疑追问

思维情境并不是让学生被动地建构知识，事实上一旦学生真正在思维情境中发动思考，那质疑几乎就是必然的结果，而如果教师的教学足够民主，在学生质疑的同时进行追问也就是水到渠成的事情. 笔者以为，初中数学教学中多让学生处于这样的状态，对数学教学的效果以及提升学生的数学学习品质也是有好处的.

在函数的定义得出之后，学生开始了对定义表述的内化：在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫作x的函数，x叫作自变量.

有学生提出：这个定义中为什么前面说是“两个变量”，后面又说x叫作自变量，y叫作函数，还是x的函数？到底x和y是变量还是函数？这样的质疑表现出的是学生对数学语言运用的困惑，或者说学生是被函数定义的语言给“绕”住了. 还有学生提出：这样理解函数的定义太过复杂，不如结合一个具体的例子，如将上面例子中的剩余油量记作y，将汽车的行驶里程记作x，那直接用这个例子说y是x的函数，x叫作自变量还简单一些.

对于这些质疑与追问，教师要肯定其中合理的地方，同时又要指出不合理之处，尤其是对于后者，往往是促进学生数学理解的关键环节. 譬如对上面两个质疑的回答，就要让学生认识到在描述一个重要的数学概念的时候，必须用专业、纯粹的数学语言，因为这样才能让数学定义具有概括性，而具体例子的列举，只能作为理解定义的手段，本身并不能作为定义.

通常情况下，笔者以为学生能够质疑，就说明学生在思维，学生质疑如果发生在当疑之处，就说明学生已经抓住了知识构建的关键点，如果学生的质疑还伴随着其一定的逻辑表述，则更说明学生的学习过程是高效的. 因而学生的质疑与追问，往往代表着学生在思維情境中的深入程度.

思维情境的价值需要反思概括

初中数学要追求的一种教学境界，就是“不教而教”，即学生能够通过数学方法的掌握，进而具有自主发现数学问题、分析数学问题并解决数学问题的能力. 显然，这种能力的形成并非轻而易举的.

在笔者看来，这其实也是学生数学学习品质或者说思维品质的重要体现，其需要学生在思维的同时还具有一种元认知的能力，即关注自身思维过程并总结自身思维特点的意识与能力. 这种能力，只能来自于学生对身处思维情境中的自己的思维过程的总结、反思与概括.

沪科版函数概念以及表示方法是在正比例函数、反比例函数的基础上建立起来的，是在对生活中函数实例的理解中得以深化的. 可以肯定地讲，如果只满足于概念记忆，是无法真正理解函数的，只有对具体的正比例函数、反比例函数进行分析，对实例进行比较，尤其是对能够引发自己深度思考的概念、实例进行分析比较，才能建立起对函数的内在理解. 这种理解常常伴随着学生对数学语言、生活语言甚至是默会知识的运用，往往因学生个体差异而异，但可以肯定的是，只要学生在反思、在概括，那思维就在深入，思维品质就在提升，思维情境的价值也就能够得到进一步彰显.