APP下载

立体几何复习要点例析*

2018-04-04三山高级中学浙江慈溪315300慈溪市教育局教研室浙江慈溪315300

中学教研(数学) 2018年4期
关键词:平面角二面角三视图

●  (三山高级中学,浙江 慈溪 315300) ●  (慈溪市教育局教研室,浙江 慈溪 315300)

1 知识内容

《浙江考试》2018年第1期公布了“2018年浙江省普通高考考试说明(数学)”,明确2018年高考必考科目数学考试说明内容与2017年相同.关于立体几何与空间向量部分,建议关注以下内容与要求:

1)理解柱、锥、台、球的结构特征,会计算柱、锥、台、球的表面积和体积;

2)掌握三视图所表示的空间几何体,会用斜二测法画出它们的直观图;

3)理解空间点、直线、平面位置关系的定义,掌握4个公理、1个定理;

4)理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理与性质定理;

5)理解直线与平面所成角的概念,了解二面角及其平面角的概念;

6)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,了解空间距离、夹角公式、平面法向量、方向向量;

7)了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量求法.

2 命题分析

回顾近4年的浙江省数学高考试题,有关立体几何与空间向量的试题分布如下:

2014年考查了3道题共24分:其中一道选择题5分(考查三视图求表面积)、一道填空题4分(考查求线面角)、一道解答题15分(考查线面垂直和二面角的平面角);

2015年考查了4道题共29分:其中两道选择题均为5分(分别考查三视图求体积、翻折问题和二面角的平面角)、一道填空题4分(考查线线角)、一道解答题15分(考查线面垂直和二面角的平面角);

2016年考查了4道题共30分:其中一道选择题5分(考查位置关系)、两道填空题分别为6分(考查三视图求体积和表面积)和4分(考查四面体的体积最大值)、一道解答题15分(考查线面垂直和二面角的平面角);

2017年考查了3道题共23分:其中两道选择题均为4分(分别考查三视图求体积、二面角的平面角大小比较)、一道解答题15分(考查线面平行和线面角).

2018年预测会有3~4个试题,分值在25分左右:选择题、填空题主要涉及空间点、直线、平面位置关系的判断,结合三视图求体积、表面积(可结合数学文化),简单的空间角计算(两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的平面角),翻折问题,动态轨迹问题;解答题主要考查在空间几何体(特别是组合体)中直线与平面、平面与平面的位置关系(平行和垂直)及空间角(主要是线面角)的计算.

3 典例剖析

考点1空间点、直线、平面位置关系的判断.

例11)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是

()

A.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

B.若l∥α,l∥β,则α∥β

C.若l⊥α,l∥β,则α∥β

D.若l⊥α,l⊥β,则α∥β

(浙江省湖州、衢州、丽水三地市2018年1月高三数学期末试题第3题)

2)已知α,β是两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(浙江省嵊州市2017学年第一学期高三数学期末试题第5题)

分析1)答案为D.选项A中l⊥β,l⊂β,l∥β,l与β斜交均有可能;选项B中α∥β,α与β相交均有可能;选项C中α∥β错误,应为α⊥β;选项D正确.也可以直接用结论“和同一直线垂直的两个不重合平面平行”得到.

评注空间点、直线、平面的位置关系考查是命题者比较关注的一个方向,往往以选择题形式出现,若干个命题组合进行真假判断或者结合充要条件考查,属于容易题,可以“证明结论正确”与“举反例否定(画草图排除)”相结合来解决.复习冲刺查漏补缺时要关注概念、定理的准确性,比如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理,记忆要求清楚,特别是条件的增删,会影响结论的正确性.

考点2三视图与体积、表面积.

例21)《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图1所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为

()

(浙江省上虞市2017学年第一学期高三数学期末试题第5题)

图1   图2

2)某几何体的三视图如图2所示(单位:cm),则该几何体的表面积(单位:cm2)是

()

(浙江省嘉兴市2017学年第一学期高三数学期末试题第6题)

分析1)根据题意,结合三视图可以判断该“堑堵”是直三棱柱(如图3),△ABC的周长为

故选C.

图3   图4

2)根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成(如图4),其中上半部分为正方体,下半部分为正四棱台,正方体中5个面的面积之和为

S1=5×(2×2)=20,

正四棱台的下底面面积为S2=16 cm2,正四棱台的侧面积为

因此,该几何体的表面积为

故选B.

评注根据三视图求体积、表面积每年必考,以选择题或者填空题的形式考查,命题方向可以以数学文化、组合体为载体,或以棱柱、棱锥中的某一部分(几何体残缺)为载体,考查三视图的知识和几何体的体积、表面积计算,试题难度有容易也有中等,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.对几何体残缺的还原,一般方法是从俯视图出发,结合正视图、侧视图来还原,特殊情况需构造正方体(或长方体),使所求的几何体为正方体(或长方体)的一部分.教师在平时讲评三视图题目时,建议学生加强识图训练,多动手画画.

考点3简单的空间角计算.

例31)如图5,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E分别是BC,AB的中点,AB≠AC,且AC>AD.设PC与DE所成角为α,PD与平面ABC所成角为β,二面角P-BC-A为γ,则

()

A.α<β<γB.α<γ<β

C.β<α<γD.γ<β<α

(2017学年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题第8题)

图5   图6

()

A.α>γ>βB.γ>β>α

C.γ>α>βD.β>α>γ

(金华十校2018届第一学期高三数学期末试题第9题)

tanγ>tanβ>tanα,

亦即

γ>β>α.

故选A.

2)如图7,记AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,联结OB1,OE,易知AC⊥平面BDD1B1.作FH⊥平面BDD1B1,则点H在OO1上;作HM⊥OB1于点M,联结FM;作HN⊥OE于点N,联结FN,易得

FM⊥OB1,FN⊥OE,FO1⊥B1D1,

从而

∠FMH=α,∠FNH=β,∠FO1H=γ,

图7   图8

在图8中不难发现HN

tanβ>tanα>tanγ,

亦即

β>α>γ.

故选D.

评注立体几何中角的大小比较问题,有多种解法,常见的是直接法,即利用“作证算”,结合空间问题平面化的技巧,计算简单的空间角(两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的平面角).第2)小题亦可以用极端思想简化问题,快捷、正确:当点F无限接近点A时,容易发现γ最小,直接排除选项A,B,C.

考点4动态问题.

(浙江省嘉兴市2017年3月高三年级教学质量检测数学试题第17题)

图9   图10

(浙江省台州市2017年高三年级第一次调考数学试题第17题)

分析1)如图11,取CD的中点H,联结AH,BH,易知∠AHB为二面角A-CD-B的平面角,于是

图11   图12

(1)

代入式(1)得到

故|L|表示周长,值为π.

评注动态的立体几何问题包括变量取值范围、轨迹、不变性、存在性等问题.解决此类问题需要灵活运用有关知识,建立一些数学模型,进行推理、论证及代数运算.可以从几何角度入手,也可以从建系入手,要善于挖掘问题所隐藏的数学模型,然后解决问题,如发现轨迹是圆、圆锥曲线、圆锥等,可以利用它们的性质进行解答.关注经典结论,如最小角定理(斜线与平面所成的角是斜线与平面内所有直线所成角中的最小角)应用.

考点5翻折问题.

例51)如图13,点E是正方形ABCD边CD上的一点(不包括端点),将△DAE沿AE折起得到△D′AE,且平面D′AE与平面ABCE异面.记二面角D′-AE-B的平面角为α,CD′与平面ABC所成角为β,则在D′的运动过程中,使得|tanα|=2tanβ成立的不同β有

()

A.0个或1个B.1个或2个

C.0个或2个D.0个或1个或2个

(浙江省诸暨市2016学年第一学期高三数学期末试题第10题)

图13

(浙江省宁波市2017学年第一学期高三数学期末试题第17题)

图14   图15

当点P,M,Q共线且PQ⊥平面BGHC时,等号成立.故所求最小值为1.

评注翻折问题是将一个平面图形通过翻折变成空间几何体.平面图形在翻折过程中,抓住折叠过程中变与不变的几何量:某些几何量(长度、角度等)保持不变,或某些几何性质或位置关系(垂直关系等)不变,这些定值、定性问题是翻折前后立体几何中的重要问题.一般翻折后仍在同一平面内的相关几何量的位置及大小不变,在解决立体几何问题时仍然是将立体几何问题转化为平面几何问题,在限时应试中,我们要利用选择题、填空题的特点来解题,即“小题小做”.

考点6解答题中的证明与计算问题.

例6如图16,四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2,BC=CD=SD=1,侧面SAB为等边三角形.

1)证明:AB⊥SD;

2)求直线SC与平面SAB所成角的正弦值.

(金华十校2018届第一学期高三期末调研数学试题第19题)

图16   图17

评注高考立体几何解答题一般分两个小题.过去分文理科的时候,关于空间角的计算,理科考查二面角的平面角,文科考查线面角;现在文理不分后,考查线面角的概率很高.建议立体几何解答题复习做好以下3点:1)在复习时空间几何体的类型要丰富,要多样化.2)第1)小题主要是平行与垂直的证明,对于平行问题尽量用传统法,对于垂直问题既可以用传统法,也可以转化为线线垂直后利用数量积为0.在答题书写时要特别突出平行和垂直的转化思想.3)对于第2)小题的解答用向量法比较熟练,但要注意合理的建系,写好关键点坐标,并与传统法的结合,加强分析从而达到减少计算、提高计算准确率的目的.

4 精题集萃

1.“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2016年12月浙江省考试院数学测试卷第3题)

2.如图18,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过EF的平面与棱BB1,DD1分别交于点G,H.设BG=x,其中x∈[0,1].

①四边形EGFH一定是菱形;

②AC∥平面EGFH;

③四边形EGFH的面积S=f(x)在区间[0,1]上具有单调性;

④四棱锥A-EGFH的体积为定值.

以上结论正确的个数是

()

A.4B.3C.2D.1

(浙江省嘉兴市2017学年第一学期高三期末数学检测试题第10题)

图18   图19

3.如图19,已知正四面体A-BCD,P是棱CD上的动点.设CP=tCD(其中t∈(0,1)),分别记AP与BC,BD所成角为α,β,则

()

A.α≥βB.α≤β

(浙江省嵊州市2017学年第一学期高三数学期末试题第9题)

4.已知在四面体SABC中,二面角B-SA-C,A-SB-C,A-SC-B的平面角的大小分别为α,β,γ,则

()

C.π<α+β+γ<3π

D.2π<α+β+γ<3π

(浙江省绍兴市柯桥区2018届高三上学期数学期末试题第10题)

5.如图20,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为BD1,BB1上的动点,则△C1PQ周长的最小值为

()

(浙江省名校协作体2017学年第二学期高三数学联考试题第9题)

图20   图21

6.某几何体的三视图如图21所示(单位:cm),则该几何体的体积是______cm3,表面积是______cm2.

(2017年4月湖州、衢州、丽水三地市高三教学质量检测数学试题第13题)

7.图22是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为______,表面积为______.

(2017学年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题第14题)

图22   图23

(浙江省台州市2017学年第一学期高三数学期末试题第17题)

参考答案

1.B2.B3.D4.C5.B

猜你喜欢

平面角二面角三视图
立体几何二面角易错点浅析
综合法求二面角
怎样求二面角
求二面角时如何正确应对各种特殊情况
割补法在三视图还原空间几何体中的应用
求二面角的七种方法
借助长方体巧解棱锥的三视图问题
三视图题型例析
三视图解法探微
如何使用平面角单位符号“°”“'”“″”