浅谈一类旋转问题*

●　　(龙港高级中学,浙江 苍南　325802)

1　试题再现，引发思考

例1如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,AD的中点，将△ABF沿BF所在直线进行翻折，将△CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程中

()

A.点A与点C在某一位置可能重合

C.直线AB与直线CD可能垂直

D.直线AF与直线CE可能垂直

(2016年浙江省宁波市一模数学试题第10题)

按照笔者所任教班级学生的水平，此题的难度应该不是很大，而实际情况是4个选项出现的几率差不多，这说明了学生在做这道题时，很多是猜的.那么问题出在哪里呢，问题的突破点又在哪里呢？

图1　　　图2

2　本源探索，形成结论

例1的本质是一个旋转问题，可以归纳如下：

如图2，已知正方形ABCD，M为边AD的中点，△ABM绕BM旋转，在翻折过程中：

问题1点A的轨迹是什么？

问题2点A在面BCDM内的射影所在曲线的轨迹是什么？

分析过点A作AH⊥BM，垂足为H，交直线CD于点N.在翻折的过程中，始终有BM⊥AH，BM⊥HN，即BM⊥面AHM.因此问题1的结论为：以H为圆心、AH为半径的圆.问题2的结论为：直线HN.

我们把直线BM定义为旋转轴，AH定义为轴垂线，平面AHM定义为轴垂面，则有如下结论及其推论：

结论1点A的轨迹为以垂足H为圆心、垂线段AH为半径的圆；点A在面BCDM内的射影所在曲线的轨迹是直线HN.

推论1在翻折的过程中，点A在面BCDM内的射影为O，则点O必在轴垂线HN上.

推论2记点A在旋转轴BM和面BCDM上的射影分别为H,O，则点A,H,O在展开图中必定共线，且在轴垂线上.

3　变式拓展，变形应用

3.1点在棱上的射影

图3

(2016年浙江省杭州市一模数学试题第13题)

于是

得

此题的难点不在于计算，而在于如何找出题目中涉及到的相关点的位置，即动点的轨迹.若能准确无误地找到，则能轻松地解决问题.

3.2点在面上的射影必在轴垂线上

例3如图4，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是______.

(2009年浙江省数学高考理科试题第17题)

图4　　　图5

3.3三点必定共线，且在轴垂线上

图6　　　图7

()

(2017年浙江省台州市一模数学试题第10题)

图8

分析本题的条件比较复杂，难度较大，其本质是一个旋转问题.利用推论2知点C,C2,C1共线，且与旋转轴l垂直.过点C作l的垂线，垂足为C2，与AB的交点则为C1(如图8).

设∠CC1B=θ，则

CC2=4sinθ+2cosθ,

本题最大的难度在于：如何化立体为平面，把空间的问题转化为平面的问题.若知道如上结论和两个推论，则能很容易想到作辅助线的方法，从而轻松地解决问题.

4　归纳总结，思想提升

实际上，任何一个旋转问题都有旋转轴、轴垂线、垂足和轴垂线与面内的线的交点，以及在旋转过程中形成的轴垂面等问题，我们总能得到垂足和交点都是在一条直线上，即在轴垂线上，还有轴垂面与旋转轴始终是垂直关系，进而得到旋转点在已知面内的射影总在轴垂线上.若能很好地抓住这几个关系，则能使问题简单化、明朗化、本质化.