希腊职前数学教师数学史与数学融合课程的设计实施及启示

米 雪，孔凡哲，Dimitris Chassapis



希腊职前数学教师数学史与数学融合课程的设计实施及启示

米 雪1，孔凡哲1，2，Dimitris Chassapis3

（1．东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024；2．中南民族大学 教育学院，湖北 武汉 430074；3．雅典大学 初等教育学部，雅典 10680）

数学史教学普遍存在“高评价低应用”现象，这是高师数学史教学痼疾所致．高师课程通常将数学史看作数学课堂教学的“调味剂”，在课程开设、教学研究等领域举步维艰．希腊雅典大学以数学史为纲，贯穿数学哲学等重要素材，编制并实施了面向职前小学数学教师培养的融合课程，发掘数学史在学生数学观形成过程中的独特作用，并采取参与式探讨的课程实施形式，取得显著的教学成效，既丰富和完善了学生的数学观，又提升了学生的反思能力．这些经验对中国的借鉴意义为：模仿设计具有中国元素的数学史与数学融合课程．

数学史；数学观；小学数学教师；职前课程；希腊；启示

自20世纪80年代以来，高师数学史课程陆续在师范大学和一些综合大学数学系（数学学院）开设．1999年，在昆明召开的数学专业课程会议“数学与应用数学专业教学规范”明确将“数学史”列入专业必修课．至今，高师数学史课程实施已接近三十个年头，数学史与数学教育的结合越来越紧密．然而，数学史融入教学的真实现状（如，近年来《数学教育学报》发表的有关数学史融入教学的调查[1-2]）显示，高师数学史课程、教学仍存在“高评价低应用”现象：一方面，大家普遍认为“掌握数学史、数学文化是数学教师的必备素养”——充分肯定数学史融入教学的重要性．另一方面，却对数学史知识掌握十分有限，不能很好发挥数学史在数学教学中的应有作用．

不仅如此，作为旨在培养中小学数学教师的高师院校数学教育专业，其“数学教学实践”与“《高中数学课程标准》[3]关于数学史、数学文化的相关要求”严重脱节，仅仅将数学史作为课堂教学的“调味剂”，数学史教育价值的重心仅定位于激发数学课堂教学的趣味性．而在综合大学课程中，数学史也只是高年级的选修课或专题讲座（如，南开大学数学科学学院顾沛教授主讲、南开大学公共选修课程“数学文化”），数学史开设仍处在自发阶段，没有规范的教学计划和统一的教学大纲，开设多少学时、讲授什么内容，完全由授课教师自己决定．与此同时，缺乏数学史专门研究人才，数学史科研投入有限，国内数学教育研究人员较少关注数学史研究，则是高师院校数学史课程、教学存在的另一个突出问题．无论是教学，还是科研，数学史在高师教育中尚未得到充分重视．归根到底，中国数学史教学存在的问题，大多是忽视数学史的教学价值所致．

相比之下，希腊雅典大学对于数学史的经验值得借鉴．雅典大学不仅关注数学史对师范生构建良好数学观的促进作用，而且以数学史为“脚手架”，贯穿重要数学问题，将数学史渗透于数学教师职前培养之中，取得显著成效．同时，在以雅典为中心的阿提卡地区推广．

这里就此阐述希腊职前数学教师数学史与数学融合课程的设计实施及其对中国的启示．

1 雅典大学高师数学史课程的功能定位

雅典大学的数学史与数学融合课程，是基于易谬主义（Fallibilism）数学观而开设的．

事实上，数学史和数学观是与数学教育紧密联系的．20世纪60年代以来，国际数学界对数学的认识发生翻天覆地的变化，在易谬主义数学观指导下，有关数学性质的认识告别了过去的绝对主义，进入“拟经验主义”数学观时代．正如R. Hersh所认为的，“一个人如何去呈现数学，将受到他如何理解数学的影响”[4]．“数学是一个有机体，数学生命力的一个必要条件在于所有各部分的不可分离性”[5]，将各部分连结起来的“纲领”就是数学史．数学思想可以视为数学概念连结的内在链条，而数学史则是其外在表现．如果没有数学思想和数学史的连结，学生会感觉自己被成串的数学定理所湮没．不掌握数学史，就无法看清数学的整体概貌，更无法领会数学的内在联系，也就不能准确认识数学的本质，更谈不上形成良好的数学观．在实际教学中，数学史与数学观的联系是紧密而富于动态的．有学者认为，“所有的数学教育都取决于对于数学的认识”[6]，虽然直接作用于数学教学的主要因素之一是数学观，但是，基于数学史与数学观的密切关系，在教学过程中对待数学史的态度，却间接表明了自己的数学观．对于课程教学而言，教师的数学观会在教学过程中表漏无疑，他们对数学的认识对其选择、认同、接受或拒绝知识产生影响．教师对数学的认识，潜移默化地融入其教学过程之中．

雅典大学的数学史与数学融合课程，努力诠释数学史与数学观以及数学教育之间的关系．课程以数学史为序，将中小学数学课程中重要的主题贯穿起来；从数学哲学中选取对学生重要且有意义[7]的问题，通过对这些问题开展参与式的、深层次的思考，引发困惑，挑战信念，潜在地促进数学知识与教学知识上的重构，进而形成有关学习与思考过程的个性化发展[8]，有利于帮助学生形成良好的数学观．

雅典大学的数学史与数学融合课程，充分利用数学史与数学观之间复杂而又富于动态的联系，通过数学史和数学重要问题的分析，引导学生认清数学的整体面貌，领会数学的内在联系，从而对数学的本质有一个较为准确的把握，进而引导师范生形成良好的数学观．

2 雅典大学数学史与数学融合课程的设计与核心内容分析

为了更好地培养优秀小学数学教师，雅典大学在类似于中国大学“初等教育学院”（或小学教育系）的部门“初等教育学部”，组建了数学史与数学融合课程研发团队，由学者Dimitris Chassapis领衔．课程研发团队根据希腊小学数学课程标准要求，从数学史与数学哲学整合的视角，形成数学史与数学融合课程“小学数学学习与教学”及其《小学数学学习与教学课程大纲》，该大纲分为“数学的概念及其特征”“数学的分类与集合及其关系”“数概念”“数字的运算”“数概念的扩展”“小学数学教学的方法与媒体”6个方面，将每个方面相关的数学史与数学哲学问题分别一一列举．

例如，围绕“数学概念及其特征”，大纲分别从“数学概念的基本特征以及儿童在最初理解概念时遇到的困难”和“系统中数学概念的表达与组织”两个角度入手，引出“数学概念为什么以公理性方式表达”和“数学概念的公理化在数学学习中意味着什么”的问题，进而将与这两个问题相关的数学史知识列举出来，如欧几里得：几何公理化；皮亚诺：自然数的公理化；以及哥德尔：不完备定理及其诠释．在“数学概念特征”方面，则从“数学概念的活动性表征，图像性表征与符号性表征”与“数学概念与实际生活的联系”两个层面入手，引出“数学概念和真理是被发现的还是被发明的”和“数学中的现实主义与反现实主义”等数学哲学问题．

随后，课程研发团队对其他5个方面的数学史与数学哲学问题逐个分析，找到更多的数学史与数学哲学问题，如，“罗素悖论”“康托悖论”“连续统假说”“毕达哥拉斯定理”“皮亚诺与弗雷格定义”“数学本体论”等．

课程编制之初，课程研发团队首先对部分学生进行深入访谈．调查发现，相比数学哲学而言，学生们普遍熟悉和喜欢数学史．尽管大多数学生也认同数学哲学的价值，认可数学哲学对培养逻辑思维的意义，但是，又不约而同地表示“数学哲学较数学史要更为抽象，不容易理解”．

基于这一调查，课程研发团队最终决定以数学史作为课程的纲领，作为这一门课程的主要载体．

课程研发团队通过对解读《小学数学学习与教学课程大纲》时整理出来的数学史和数学哲学问题进行重新编排，以数学史为纲要，结合重要的数学哲学问题，编订课程内容如下：

（1）数与自然数．

从伊尚戈骨片到斯蒂文算法，数是物质的还是属性的？

你能在下列数的定义中指出有哪些异同点吗？（毕达哥拉斯、康托、皮亚诺与弗雷格定义的数）

不同的数的定义会生发出不同的数的概念教学吗？

为何随着时间的不同和文明的跨越会发明出不同的计数系统？

（2）离散与连续的量．

从芝诺悖论到戴德金分割，两者之间的层次与结构有何不同？

在定义有理数的时候，发生了什么？

（3）零和无穷．

如果零代表虚无，那么，虚无一定意味着一些事情，因为它确实存在，这种观点对吗？

任何一个实体集可拥有一个共同特征吗？

整体、部分与被分割之间有何关联？

你能给一个无穷的例子吗？

在序数与基数之间有什么区别？

你听过连续统假设吗？如果没有，你能基于连续性做出猜想吗？

（4）等式与方程．

代数学（环论）从丢番图，到卡尔达诺，然后到诺特．

可以用同样的句式来理解数学定义吗？比如等式或方程的定义？

（5）欧几里得几何与非欧几何．

从古埃及调查员到罗巴切夫斯基的创造．

“经过两点可以画一条直线”（欧几里得）与“两点之间存在一条直线”（希尔伯特），这两种命题有区别吗？

为什么黄金分割比在自然界普遍存在？

几维能形成一个曲面？

数学概念和真理是被发现的？还是被发明的？

（6）数学中的存在与构建．

数学对象（集合、数、线、方程、圆，等等）真实存在吗？

一个数学对象的诸多数学性质可能会有特殊性吗？

莫比乌斯带能证明数学对象是真实的吗？

我们怎样理解复数存在的合理性？

（7）几何，算术以及二者间的相互关系．

牛顿的“几何学是建立在力学的实践之上的”，意义何在？

笛卡尔推测“几何”曲线是“可以精确与准确测量的曲线”，请将此语句与欧几里得关于曲线的界定进行比较．

（8）随机、可能性和统计学．

“随机”与“任何事都会发生”，有区别吗？

“有很大可能性”，有何意义？任何命题都能从给定的条件中得到一个数字概率吗？

我们可以用概率描述一个人的理性行为吗？

（9）在数学中的证明．

哪些真理是以数学命题来表达的？

数学中的真理指的是抽象对象还是概念？还是两者都不是？

数学论证为何不可或缺？

（10）公理系统及数学的基础．

从欧几里得到19世纪的数学基础流派．

数学命题是什么？

在公理系统中，数学概念是如何组织的？

你能辨认欧几里得几何公理与皮亚诺自然数公理的异同点吗？

在联系真实世界时，数学概念的公理化意味着什么？你听过“逻辑主义”、“形式主义”和“直觉主义”吗？你认为他们在数学中有何意义？

数学的基础是什么？

（11）故事续编．

数学基础和奇怪的哥德尔博士．

“数学是一个带有符号的游戏”，这个观点站得住脚吗？

（12）拉卡托斯博士，我们现在应该如何看待数学？

你认为数学与物理学有哪些相似之处？

自2010年开始，数学史与数学融合课程“小学数学学习与教学”在雅典大学初等教育学部二年级学生中开设至今，已成为阿提卡地区多所大学的必修课程，而希腊克里特大学与罗德大学也都开始设置该门课程．

“小学数学学习与教学”课程包含12个主题，每个主题的讲授和讨论的时间大约为1.5个小时，全部课程在一个学期内完成．

在课程开始阶段，学生在教师的引导下追溯每个主题下的数学内容、数学思想与方法的演变、发展过程，并试图从数学史中发现与提出问题．例如：

在数概念主题中，学生会质疑为何随着时代的更迭与地域的交错会产生不同的计数系统．

然后，学生对数学史潜藏着的数学问题、数学哲学问题进行思考与辩论．辩论的形式主要是由学生与学生之间的小组辩论．例如：

有的学生认为不同计数系统的产生有赖于社会发展的需求，有的学生认为是由于不同的计数工具以及生活环境等原因所导致．

最后，教师对几组学生讨论的结果进行分析总结，最终达成基本共识．例如：

不同的计数系统是由于多种原因所致，可以从不同地域的文化背景，社会的发展需求与数学的发展规律的视角来分析其中原因．

3 雅典大学数学史与数学融合课程的实施成效及其启示

3.1 实施成效

雅典大学“小学数学学习与教学”课程由Dimitris Chassapis教授担任主讲教师．在课程实施结束的每个学期，要求所有选修该门课程的师范生每人写一份匿名报告，以检测课程实施的效果．报告内容主要包括两方面：其一，你从课程中得到的最重要的收获是什么？其二，在课程实施和课堂讨论中，你遇到的主要困难有哪些？

作者米雪在希腊雅典大学学习期间，全程参与了2016学年第一学期的上述实验，对回收的128份匿名报告统计分析，形成统计报告，进而对课程实施的成效总结分析．

3.1.1 数学史与数学融合课程有助于学生对数学概念的重构与教学方法反思

统计报告显示，半数以上的学生明确指出，课程的主要优势是对数学概念进行了重构，如“改变了关于数学的认识”“改变了关于数学的看法”或者“改变了对于数学的态度”，类似评价在问卷中频繁出现．而且，还有学生对“数与自然数”问题，以及使用虚拟教具和体现数量关系的图表，均表示质疑．从中不难看出，学生对教学方法以及如何使用教具，已经不仅仅停留在简单接受状态，而是开始积极反思．

统计报告显示，雅典大学将数学史与数学哲学结合起来，用于数学教师职前课程建设中的实践，印证了以数学史贯穿数学哲学问题，不但可以强化职前数学教师对数学史知识的理解，在课堂教学中提高数学职前教师学习数学史的兴趣，丰富其数学文化修养，而且通过提出发人深思的数学哲学问题，引起学生对数学本质的重新思考，对数学概念不断反思、重新认识，从而引发其对数学传统印象的批判性思考．学生对学校数学及课堂教学方法的反思，是职前数学教师建构其数学教学观的必经阶段——通过对已有教学方法的自我评价，引发其个性化教学设计的开发，有利于其在未来的数学课堂中实现个性化教学和教学再创造．与中国传统课堂传授方式相比，雅典大学的这种参与式课程教学形式的确耳目一新．

3.1.2 具备相应数学背景知识是课程实施获得良好效果的前提

来自学生的匿名报告也反映出该门课程存在的问题．部分数学基础薄弱的学生指出，在课程实施和课堂讨论中，自己的主要困难在于“数学哲学问题的思考难度大”，如“数学哲学很难理解”或“数学哲学问题难以解决”．尤其对“零与无穷”问题，或者涉及无穷大（无穷小）、函数连续性、数学辨证等有关问题的课程内容，均表示困惑．

这表明，雅典大学在“小学数学学习与教学”课程实施中遭遇最严肃问题——，即对数学基础薄弱的学生而言，教学难度比较大．

事实上，在以前的数学学习中，由于他们缺乏对数学概念、定理及其推理过程的准确理解和深度学习，以至于，在课程中不能准确理解数学哲学的具体问题及其核心思想，从而影响到讨论的深度、广度，也不能对数学史课程的教学质量做出准确反馈．例如，凡是涉及无穷大（无穷小）、函数连续性、数学辨证等有关问题的课程内容，由于缺少相应的数学背景，学生的确无法真正理解．

从而，保障课程质量的必要前提是，学生必须具备相应的数学背景知识，在课前引导学生有针对性地强化对相关数学概念、定理及其推理过程的理解与掌握，可以有效提升学生的学习效率．

3.2 启示

中国古代数学家也对数学有较为深入的思考，创作出《九章算术》等举世之作，对分数、方程的记载领先当时世界．然而，以中国古代数学为代表的东方传统重视算法程序化，带有较强的实用思想．而西方数学界对数学本质的认识素有传统，古代希腊数学从毕达哥拉斯学派开始，进入繁盛阶段，继其后者的柏拉图、亚里士多德、欧几里得等数学哲学家对数学本质问题的思考，促使古代希腊数学朝着形而上的趋向发展．欧几里得《几何原本》的问世，在数学中引入逻辑因素，对命题的证明奠定了后世数学的发展基础，对近代数学影响深远．西方数学界利用数学史在培养数学观过程中的作用，进行数学教学具有优越性，在课程建设和人才培养中已历近百年．

希腊古代数学重逻辑推理，中国古代数学重实际应用，二者发展方向迥异，但都融入到近代数学思想之中，这为两国数学教学提供了相互借鉴的可能．时至今日，两种文化都融入现代数学思想，特别在经历了“新数运动”以及易谬主义思潮冲击后，数学本身的文化区域性特征已不那么明显．这为中、希两国数学课程、教学的相互借鉴，提供了可能．现代的数学哲学无论是研究问题、方法，抑或研究立场和主要观念都发生深刻变化，但是，过去几十年数学哲学的研究并未准确解决数学教育问题．雅典大学利用古代数学的文化资源，从传统中提取数学史与数学哲学的有益元素，指导当代的数学教育实践，取得预期效果．作为同样有着悠久数学发展历史的中国，应该重视这一经验．

中国高校，尤其是师范类院校，既可直接借鉴雅典大学的教学经验，也可根据自身情况，量身定制一套类似的数学史与数学融合的课程，进一步开发数学史的教育价值，摒弃“数学史只是课堂调味剂”的片面观点，推动数学史融入数学教学的课程实践．这一研究结果，也为中国中小学数学课程[3，9]教学将“数学文化”实践物化，提供了一种新视角．

[1] 龚运勤，唐振球．架起数学史成为提高中学生数学学业成绩的桥梁[J]．数学教育学报，2011，20（6）：32-34．

[2] 李保臻，孙名符．新课改背景下高中数学教师数学史与数学文化知识的现状调查[J]．数学教育学报，2013，22（2）：49-54．

[3] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：10．

[4] HERSH R. Some proposals for revising the philosophy of mathematics [J]. Advances in Mathematics, 1979, 31(1): 31-50.

[5] 伊夫斯 H．数学史概论[M]．欧阳绛，译．太原：山西人民出版社，1986：14-26．

[6] THOM R. Modern mathematics: does it exist [M] // HOWSON A G. Developments in mathematics education: proceedings of the second international congress on mathematics education. Cambridge: Cambridge University Press, 1973: 195-209.

[7] FREEMAN C, SOKOLOFF H J. Toward a theory of theory of thematic curricula: constructing new learning environments for teachers & learners [J]. Education Policy Analysis Archives, 1996, 3(14): 1-19.

[8] PERFETTI C A, GOLDMAN S R. Discourse functions of thematization and topicalization [J]. Journal of Psycholinguistic Research, 1975, 4(3): 257-271.

[9] 孔凡哲．关于《高中数学课程标准（2017年版）》的理解分析[J]．福建基础教育研究，2018（4）：8-12．

The Implementation and Inspirations of the Course Design of Mathematical History and Mathematics for Pre-service Mathematics Teachers’ in Greece

MI Xue1, KONG Fan-zhe1, 2, Dimitris Chassapis3

(1. Faculty of Education of Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. School of Education of South-Central University for Nationalities, Hubei Wuhan 430074, China;3. Department of Primary Education of University of Athens, Athens 10680, Greece)

There was a general phenomenon of “high evaluation and low application” in the teaching of mathematics history in middle school, which was due to the problem of teaching of mathematics history in normal University. The course of mathematics history was treated as a “flavoring agent” in the teaching of mathematics, which was difficult to break through in the field of implementing and research. Some important problems of mathematics philosophy had been contacted with the history of mathematics in the University of Athens in Greece, which was helpful for the progress of student’s mathematics view and reflective ability. The course explores the unique function of mathematical history in the formation of students’ mathematical view, and takes the curriculum implementation form of participatory discussion. It was necessary to introduce these experiences to China.

mathematics history; mathematics view; primary school mathematics teacher; pre-service curriculum; Greece; inspirations

[责任编校：周学智]

2018–03–28

国家社会科学基金“十二五”规划2012年度教育学重点课题——中小学理科教材难易程度国际比较（高中数学）（AHA120008）

米雪（1988—），女，吉林吉林人，东北师范大学与雅典大学联合培养博士研究生，主要从事课程与教学论、数学教育的学习与研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）02–0078–04

米雪，孔凡哲，Dimitris Chassapis．希腊职前数学教师数学史与数学融合课程的设计实施及启示[J]．数学教育学报，2018，27（2）：78-81．