意有所期“型”有所至——观“羊吃草的面积”一课有感

◇吴 贤

《数学课程标准（2011）》提出了“模型思想”这一核心概念，但在小学数学教学中，如何融入“模型思想”，却一直是实践中的一个难题。特级教师张齐华的“羊吃草的面积”一课，在对“羊吃草的面积是多少”这个问题的一次次设定、追问、探索中，教师巧妙地激发了学生深入探索、发现、感受其中“数学模型”的兴趣，也唤起了听课老师对“模型思想”这一核心概念再次理解和深入思考的浓厚兴趣。

一 虚化，用问题积蓄“型”之素材

提到“羊吃草”有关的问题，我们很容易想到的是像“草地中央的木桩上拴着一只羊，拴羊的绳子长3米”，或“边长6米的正方形封闭羊圈一角上拴着一只羊，拴羊的绳子长3米”，求羊吃草的面积这样的问题。而这节课，张老师带来的却是一个不那么清晰，没有具体数据，没有确定位置的开放问题，凭借一幅羊吃草的画面，让孩子们思考：“要想知道这只羊最多能吃多大面积的草，你有什么好办法？有没有什么问题？”

张老师提出的这样一个“不够数学”的问题，恰恰为之后孩子们探索数学模型提供了一个非常棒的素材。课堂上，面对这么一个看似无解的问题，孩子们积极思考，各种想法层出不穷。大家普遍认为“问题（情况）不确定”。而为什么不确定？怎么确定？确定了后会有什么不同的情况？这些问题成为孩子们交流的热点。

在这个问题的思辨过程中，解决问题已经不是教学的重点，让孩子们跳出常规的问题解决模式，进入把实际问题抽象为数学问题的过程中，在确定的任务驱动下，自己发现所缺失的条件，假设各种可能的情况，讨论各种情况的解决途径，才是这一问题的价值取向。而这样的讨论活动，恰恰是学生形成“模型思想”的重要思维历程。

孩子们结合自己的生活经验、数学问题的解决经验，补充了桩子的位置、绳长等不同的情况，分析了不同情况下羊吃到的草可能形状和面积的大小。基于个人不同的思考角度，有可取的也有值得商榷的，有正确的也有需要调整的，但在这些讨论中，孩子们不约而同地感受到，添加了羊圈这个要素后，羊吃草的问题已经不能用原有的解决方式，而是变得复杂起来。尽管孩子们的这些思考还非常粗浅，可在这些稚拙的思维火花里，我们能感受到他们原有的思维方式在一步步被改变，能看到他们面对新的数学问题所做出的不断努力，也欣喜地发现，孩子们在思索过程中，正逐步触摸到数学模型的奥妙。

二 聚焦，让思辨构建“型”之框架

生活化的问题激起了孩子们研究的热情，但对于小学阶段的儿童来说，建立“模型思想”还需要依托具体的问题解决过程。

1.借用想象之力产生初步假设。

教学中，张老师顺应了孩子们之前所提及的几个不确定因素，确定了桩子的位置和羊圈的边长，让孩子们“大胆地想象一下，绳长3米，羊吃到的草，可能是什么形状？如果绳长6米呢”。条件的明确，问题的聚焦，为进一步探寻数学模型提供了动力。独立思考后，对绳长3米的情况，大部分孩子都有了初步的假设，即绳长3米，羊吃草的面积就是一个半径为3米的圆的面积。还有些孩子顺着这个思路，认为绳长6米也同样适用。这可以算是孩子们对这一问题的初次模型假设了。

虽然在小学阶段，还没有必要提出数学建模的要求，但创造合适的机会让儿童经历数学模型建构的过程，却是非常可贵的。尽管孩子们还没有意识到，教师的这一问题已经在引导他们通过数学的加工，把生活问题转换为数学问题，并尝试着对问题进行模型的初步假设，但正是这种意有所指的发问，使儿童的“模型”意识悄悄生长。

2.巧用几何直观进行调整和修正。

显然，对绳长6米这一比较复杂的情况，孩子们在交流中有较大的分歧，而解决这一分歧，建构正确的数学模型，需要引入与小学阶段儿童认知水平相契合的方法。在这里，张老师让孩子们“亲自动手来研究”“在示意图上画一画，把自己的想象落到纸上”“借助老师提供的羊圈模型和绳子，动手比画”，充分运用几何直观的方式，让孩子们自己检验假设的正误，探索正确的图示，从而对之前的模型假设进行合理的调整和修正。

在这一过程中，张老师并没有要求孩子们用数学符号表达自己的思考，而选择图示、语言描述相结合的方式表达自己的想法。通过画图和操作，逐步发现绳长6米时羊吃到的草的形状，既不是整个圆减去正方形，也不是半径为6米的圆，而是由一个半径为6米的圆和两个半径为2米的圆组成的一个组合图形。通过对不同图示的讨论和甄别，孩子们最终发现正确的模型形态。

但画出了正确的图示，就算是建构了数学模型吗？我们知道，课程标准对模型思想的解读中，强调“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化和变化规律”。但对于小学阶段的儿童来说，构建这样的数学符号模型显然会让很多孩子无从下手，这也是在小学阶段“模型思想”难在教学中实践的一个根本原因。其实，表达数学模型，除了用数学符号，还可以用文字或图形。而对于小学阶段的儿童来说，用文字或图形表达他们所发现的数学模型，不仅能降低数学模型建构的难度，还可以提升学生的“模型意识”。

3.利用比较进一步丰富模型建构。

数学模型的建构过程不是一蹴而就的，需要不断回到现实问题中，将简化后的数学问题与实际情况进行对比，才能不断丰富对已有模型的认识，完善现有的模型结构体系。

羊吃草的问题，正是一个比较复杂的实际问题。在具体化的过程中，简化后的两个条件，让学生在解题过程中，初步建构了针对不同情况的数学模型，还需要引发学生对已有模型的反思和梳理。孩子们的建模能力不容小视，在张老师抛出“同样是正方形羊圈，同样用一根绳子拴在羊圈的顶点上，为什么两道题的解题思路不一样”这一问题后，孩子们在比较两个问题的相同与不同之处时，由点及面，从两个孤立的数据想到了两组关联的数据，想到了两个关键的“拐点”，甚至想到了更复杂的变化情况。在这样不断的切磋中，对于特定形状特定位置的羊吃草问题，学生已经能够用图示和符号相结合的方式呈现出一个全面完善的数学模型。这真让人大为惊叹。

三 深化，以反思促进“型”之生长

郑毓信教授在《数学教育哲学》中提出：“数学教学的基本任务就在于帮助学习者逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的能力。”可见，模型思想的教学，不能止步于模型建构和求解，还要关注模型的分析和应用，关注更上位的数学思想的发展。

在张老师这节课中，最让人回味的还有课的尾声，老师和学生对羊吃草问题的深入回顾和进一步的思考。“同样的问题，为什么最后的方法会发生翻天覆地的变化？试着改变这个问题中的其他要素，整个问题又会发生什么变化呢？”借助这样的回顾和反思，孩子们对刚刚建立的数学模型进行了重新审视和再次建构。

从绳长的变化会带来解决问题模式的变化，想到羊圈形状的变化、拴羊桩子位置的变化，想到变化后的羊吃草形状的可能情况，虽然受课堂时间的限制无法进一步研究下去，但已经在孩子们心中播下了新的研究种子。面对每一个变化，孩子们已经在头脑中主动地构建可能的图示和模型，甚至感到每一种新的变化里还要考虑新的要素。这些都说明，随着学习中对羊吃草问题的一次次深入探问，主动借助数与形的结合，发现数量间变与不变的关系，主动浸润在数学模型的建构中，这些意犹未尽的思考，让一个问题的解决逐步生长为一类问题的解决，体现出模型思想作为一种思想方法所蕴含的一般化的思维方式。

儿童的建模能力是不该被忽视，也不该被弱化的。从“模型思想”的角度品读“羊吃草的面积”一课，我们发现，即使是一个老生常谈的数学问题，经过巧妙的加工和实施，也可以成为模型思想教学的一个良好素材。