从解构到建构——“解决问题的策略——假设”教学片段与设计意图

◇王 岚

教学片段一：在“倍数关系”的研究中初步感知假设的策略

师：小明遇到了一个具有挑战性的问题。（出示题目如下）面对“小杯和大杯的容量各有多少毫升”这个具有挑战性的问题，你敢不敢自己尝试一下？

小明把360毫升的果汁倒入6个小杯和1个大杯中，正好都倒满。已知大杯的容量是小杯的3倍。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

1.独立分析数量关系，自主尝试解决问题，写在白板上。（可以画一画、写一写、算一算）

2.在小组内交流解题思路，再把有代表性的不同方法贴到大黑板上。

师：请大家独立分析数量关系，并且自己尝试解决，可以画一画、写一写、算一算，在白板上留下思维的痕迹。独立完成后，和同组的小伙伴一起交流解题的思路。

设计意图：大杯和小杯两个未知量都需要学生求出，看似有一定的难度。但是，如果我们将视线放到学生的整个数学学习历程中，就会发现学生已经有过解决此类问题的经验。比如，五年级下册教材已经出现过和倍问题的实际问题,只不过当时是用方程方法解答的。而将挑战的权利还给学生，我们将会看到更多不同的思路与表达。

（各小组组员先理解题意，独自思考，在白板上写下解题过程后，相继进入讨论环节。教师巡回指导，加入小组聆听，指导同学将部分作品粘贴在黑板上)

师：现在黑板上有11份作品，这11份作品都不一样吗？有没有一样的？

生：有!

师：下面我们请四位同学到黑板前，把你们认为相同的作品放在一起。

（四个学生上讲台对11种解题方法进行分类）

师：看来很多同学遇到小杯和大杯都不知道的时候，就紧紧抓住数量之间的关系，运用方程来解决问题。派一个代表来给大家分享一下你们是怎么想的。

生：我认为当两个量都不知道的时候可以用方程算，首先题目给我们的条件是大杯的容量是小杯的3倍，我们可以把小杯设为x毫升，那大杯就是3x毫升，之后我们列方程：3x＋6x=360，解这个方程得x=40。再根据题意，得出小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。

（教师对这个学生的解题方法给予肯定）

师：接下来我们一起把目光聚焦在没有用方程方法解题的同学，我发现他们都不约而同地借助了一些工具，比如：示意图和线段图。要看懂需要智慧，要分析需要勇气。谁来解释这些算法？

生1：这些方法都是画图，题目中说大杯的容量是小杯的3倍，我们可以把1个大杯看成3个小杯。

师：我特别喜欢“看成”这个词，就是把1个大杯假设成3个小杯。

生1：然后把假设成的3个小杯和题目中原有的6个小杯加在一起，一共就是9个小杯，它们的总量是360毫升，用360÷9=40（毫升），就求出每个小杯的容量。再根据题意，用小杯的容量乘3就能算出大杯的容量。你们听懂了吗？

（其他学生纷纷点头，表示听懂了）

师：都听懂了？找一位同学来验证一下。

生2：根据3个小杯的容量等于1个大杯，合起来就是共有9个小杯，用总容量360毫升除以9个小杯，就是每个小杯的容量。再用小杯的容量乘3，就得到1个大杯的容量。

师：其实他们用的方法完全一样，都是把这里的大杯假设成小杯。我们可以把这种方法放在一起。

（教师走到黑板的另一边，示意学生把目光转移到右侧）

师：这是哪位同学的作品？请说说你的想法。

生3：我是这样想的，首先3个小杯的容量等于1个大杯的容量，一共有6个小杯和1个大杯，就相当于一共有3个大杯。小明一共倒了360毫升的果汁，就要除以3，得到每个大杯的容量是120毫升。又因为3个小杯的容量等于1个大杯的，所以120除以3就是40。因此小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。你们听懂了吗？有什么问题要问我吗？

（学生似懂非懂，并不举手，教师似乎看出来他们的疑虑）

师：没有人提问的话，我来问一个：360÷3中除号后的“3”是什么意思？我不知道“3”是从哪里来的。

1.3.1 消解动态试验。根据厂家推荐，70%甲基硫菌灵可湿性粉剂防止马铃薯环腐病拌种用药量为0.42～0.70 g a.i./kg种薯，播种时拌种使用一次。按照《农药残留试验准则》要求，于2015—2016年在山东省济南市、湖南省长沙市开展试验。

（其他学生纷纷点头，好像这也就是他们理解上的困惑）

生3：每3个小杯等于1个大杯，6里面有2个3，因此6个小杯就等于2个大杯，再加上原来的1个大杯，就是3个大杯，所以“3”来自3个大杯。

师：有没有跟他思路是一样的？

（两个学生举起了手，教师把他们的作品也作了展示）

师：他们有什么相同点呢？

生：都是把小杯全部假设成大杯。

师：接下来请同学们看黑板，看起来好像分成了三类：第一类是方程，第二类是把大杯假设成小杯，第三类是把小杯假设成大杯。请你仔细思考，方程的方法其实是把所有的什么假设成什么呢？

生：方程就是把大杯转化成小杯。

师：请大家再仔细观察，左边全部假设成小杯，右边全部假设成大杯。看上去分成了两类，这两类有什么相同的地方？

生：它们都是把两个不同的类型，转化成一个相同的类型。

师：我非常佩服这位同学，他说得特别棒。一开始，大杯也不知道，小杯也不知道，也就是两个量都不知道，那就把两个未知量通过假设转化成一个未知量。

设计意图：分类比较，聚焦差异。从方程解法、算术解法的大杯假设为小杯，算术解法的小杯假设为大杯，逐步到分为两类假设为大杯、假设为小杯，最后统一到都是把两个未知量转化为一个未知量。在观察、比较、分类中，学生对于假设策略的认知也越来越深入。

教学片段二：在两个量关系的聚焦中逐步深化假设的策略

师：同学们想一想，这些算法都是把两个未知量通过假设转化成一个未知量。那么，是不是所有的两个未知量我们都可以转化成一个未知量呢？

生：这两个未知量必须有一定的关系。

师：那我们来看一看，屏幕上这道题的两个未知量有什么关系？

生：（齐）倍数关系。

师：这样的倍数关系只能用题目中的这句话来表达吗？可不可以换一种说法？

生：1个大杯的容量等于3个小杯的容量。

师：无论怎么表达，这两个量之间都是倍数关系。题目中40和120这两个量，除了用倍数关系来表达，还可以用什么关系来表达呢？

生：大杯比小杯多80毫升，小杯比大杯少80毫升。

设计意图：教材中例1是倍数关系，例2是相差关系，教学时，一般用两课时完成这部分内容。例1假设前后总量不变，份数在变。例2假设前后总量在变，份数不变。对于学生而言，例1有相关经验与基础，而例2可借鉴的经验较少。在教学时，我以关系为切入点，将两个例题通过关系的表达方式变化而整合为一课时，从结构化的角度给学生提供了很好的思维支架。两者的不同是关系的表达方式，而相同的则是都要将有关系的两个未知量转化为同一个未知量。