“消参”破解“多参”，“铺垫”化解难点——以一道九上期末卷把关题的解析与教学为例

☉江苏常熟市古里中学 浦长宇

近年来，随着《中学数学（下）》等刊物上载文商榷与批判一些伪坐标系函数综合题，研究各地区的中考试卷、县区的期末试卷会发现，这类伪坐标系考题的数量大大减少，这确实是命题领域值得点赞的现象.随之而来的是一类“含参”函数综合题，这类含参函数题常常因为参数多，变形、转化有难点，让不少学生望而却步，成为一类新的函数综合问题，值得关注和研究.本文选用一道某地九上期末卷的把关题进行思路解析，并跟进教学微设计，供研讨.

一、考题及思路解析

考题：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-1）在抛物线y=x2+bx+c（b＞0）.

（1）若b-c=4，求b、c的值.

（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.

（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过点A，点A的对应点A1为（1-m，2b-1）.当m≥时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.

思路解析：（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c，可得b+c=-2.

联立b-c=4和b+c=-2，可得b=1，c=-3.

（2）由（1）中已得的b+c=-2，得c=-2-b.这样就可将原解析式中的两个参数通过“消参”变成y=x2+bx-2-b.

当x=0时，y=-2-b.

将待分析的OC=k·OB变形为.这样还是不能直接看出分式的取值范围，可以进一步变为k=.现在结合b>0，就容易分析出+2>2，即0＜k

再来分析命题“对于任意一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB”. 一个细微的差别就比对出来了：0＜k＜1与0＜k.接下来，只要找到一个反例，得到k＜1区间的一个值，就可认定该命题为假命题.

（3）由（1）中已得的b+c=-2，改写平移前的抛物线y=x2+bx+c，可得y=+c，即y=

因为平移后A（1，-1）的对应点为A（11-m，2b-1），分析可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度.则平移后的抛物线的解析式为y=-b+2b.即2+b.

接下来就成为p关于b的二次函数的最值分析问题，需要注意考虑自变量b的取值范围，这是一个易错点，结合m≥，所以b.所以0＜b

第（3）问有难点、易错点：难点是解读出平移规律，将平移后的抛物线的解析式写出来，将点A的坐标代入，把参数m、b之间的相反数关系演算出来，并回代消参成只含b的含参二次函数问题，进一步把平移后的抛物线的顶点坐标用含b的代数式写出来；易错点是当得到顶点的纵坐标+b之后，匆忙配方后得到最值，而忽略了分析参数b的取值范围0＜b

二、“一题一课”教学微设计

1.出示考题，基础热身.

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-1）在抛物线y=x2+bx+c（b＞0）上.

（1）用含b的代数式表示c.

（2）若b-c=4，求b、c的值.

（3）在（2）的条件下，直接写出此时抛物线的顶点坐标.

（4）将该抛物线向右平移1个单位，写出此时抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）.

设计意图：针对原考题的第（1）问，展开了系列设问，围绕“消参”、抛物线的顶点坐标、向右平移的基础知识的回顾，为后续探究进行热身练习.

2.判断命题的真假.

例2 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx-2-b（b＞0）与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接BC.

（1）当b=2时，求△OBC的面积.

（2）求tan∠OCB的值（用含b的式子表示）.

（3）分析tan∠OBC的取值范围.

（4）小杰同学提出一个命题：“对于任意一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB.”请判断“小杰命题”的真假.若是真命题，给出必要的演算说明；若是假命题，试举一个反例.

设计意图：针对原考题的第（2）问设计了系列铺垫式问题，让难点得到逐一化解.

3.预设铺垫，挑战难题.

例3 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx-2-b（b＞0）经过定点D.

（1）直接写出点D的坐标.

（2）将该抛物线平移，平移后的抛物线经过（1，-1），点D的对应点D为（1-m，2b-1）.m为常数，且m

①写出平移后抛物线的顶点坐标（用只含b的式子表示）；

②求b的取值范围；

③小艺同学经过演算发现，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点能落在直线y=-1上.请判断“小艺发现”是否正确，并说明理由.

设计意图：开始先“反向”设问，让学生发现定点D的坐标是（1，-1），再对比平移后的D1的坐标特点，写出平移后的抛物线的解析式，再将（1，-1）代入可求出m与b之间的相反数关系；最后一问，变换设问方式，让学生参与“小艺发现”的检验与评价，与原考题的第（3）问本质上是一致的.

三、进一步的教学思考

1.向学生传递“消参”策略，破解“多参”函数综合题.

很多学生不适应多参数的函数综合题，因为参数太多，难以建立方程求出参数的值，从而思路受阻.从上文列举的题例来看，并不是所有参数都能被确定出来，但是可以把多个参数运用题中的条件进行转化、消参，使得多个参数最后消成一个参数（如上文考题的第（3）问的参数m、b）被消去m，使得平移后的抛物线只含有一个参数b，从而分析抛物线的顶点.特别值得一说的是，数学解题策略往往具有某种一致性，比如，二元一次方程组的求解关键是消元，一元二次方程的求解靠的是降次，跟学生讲清这些解题思想，而将其迁移到“多参”函数综合题时，也要注意积累“消参”的解题策略.

2.研发“一题一课”，预设铺垫问题启发学生自主攻克难点.

由于不少地区常常把含参函数综合题作为全卷最后一道大题，用以承担区分选拔的功能，所以这类试题难度往往较大，特别是最后一问与前面的设问之间拉开的距离较大.于是，在组织讲评这类考题时就要认真准备，而不是简单的贯通思路、做出答案就进行讲评，可以像上文这样研发“一题一课”，对较难的问题给出铺垫式设问，铺平垫稳，有效化解难点，引导学生在铺垫问题的启发引导之下，自主攻克难点、贯通思路，学习解题的过程中也收获解题自信.想来，这也是积极回应有老师提出的“难点处，请勿一带而过”吧.

1.魏爱凤.一道“伪坐标系”考题的教学思考与命题商榷［J］.中学数学（下），2017（11）.

2.苏红虹.突破“含参函数题”：数形结合与扎实运算——2017年福建中考第25题解析与教学微设计［J］.中学数学（下），2017（8）.

3.刘东升.并列式问题与递进式求解——由一则解题教学案例说起［J］.中学数学教学参考（中），2012（8）.

4.俞丁立.解题教学，在难点处请勿“一带而过”——以“有且只有”存在性探究问题为例［J］.中学数学（下），2017（9）.W