赏析经典课例，感悟“三学”要义——李庾南老师“等腰三角形（第1课时）”赏析

☉江苏海安县城东镇开发区实验学校 刘才云

经由媒体报道，我们关注到“自学·议论·引导”教学法第2期全国研修活动在南通市启秀中学成功举办，会上全国著名特级教师李庾南老师在专家报告中详细解读了“三学”（即学材再建构、学法三结合、学程重生成），特别是结合大量课例讲解了学材再建构.笔者在近年来《中学数学》（初中版）读到很多有关李老师课例的文章，受益颇多，借此机会也把研习李老师著作中相关课例的一些心得与大家分享，供研讨.

一、“等腰三角形（第1课时）”教学课例

教学环节 （一） 回顾轴对称图形的定义和轴对称性质，引出定义.

1.（PPT展示）如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.

2.（PPT展示）由轴对称图形的定义可知，轴对称图形被对称轴分成的两个图形全等.

研究等腰三角形，先给出定义（PPT展示）：有两边相等的三角形叫作等腰三角形.

如图1，AB=AC⇔等腰△ABC.

教学环节（二） 实验操作，观察、思考、生成命题.

1.折叠等腰三角形纸片，有什么发现？（个人思考，全班交流）

整理：如图2，等腰三角形对折→折痕两旁的三角形完全重合→两个全等的小三角形.

并跟进梳理一些边和角的等量关系，通过追问，师生互动得出如下关系图（如图3）.

2.总结命题：（1）等腰三角形的两个底角相等.

（2）等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合.

教学环节（三） 由合情推理到逻辑推理，证明等腰三角形的性质命题.

针对性质命题1：等腰三角形的两个底角相等.

师生共同分析：

题设：等腰三角形的两个底角；

结论：这两个底角相等.

进一步师生合作画出图形，写出“已知”和“求证”.

已知：如图4，△ABC中，AB=AC.

求证：∠B=∠C.

教学预设：师生共同研究证题思路：构造全等三角形，运用全等三角形的性质.

难点预设：如何添加辅助线？（学生独立思考基础上，全班交流讨论）

思路1：折痕抽象为底边上的高.

如图5，作底边上的高AD.

思路预设如下：

Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.

思路2：折痕抽象为底边上的中线.

如图6，作底边上的中线AD.

△ABD≌△ACD（SSS）.

思路3：折痕抽象为顶角平分线.

如图7，作顶角∠BAC的角平分线AD，交BC于D.

预设思路如下：

△ABD≌△ACD（SAS）.

总结概括：（小组学习、全班学习）

（1）等腰三角形的性质定理，完善如下的板书.

定理1：等腰三角形的两个底角相等.（简称“等边对等角”）

如图1，在△ABC中，AB=AC⇒∠C=∠B.

定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

（2）如图8，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是顶角平分线所在直线（或底边上的高所在直线，或底边上的中线所在直线）.

教学环节（四） 特殊的等腰三角形——等边三角形的性质.

由等边三角形的定义和等腰三角形的性质推出等边三角形的性质.

（PPT出示图9）

师生合作得出等边三角形的性质：

1.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；2.等边三角形每条边上的三条线段都互相重合；3.等边三角形有三条对称轴，是过三边中点的垂线.教学环节（五） 定理运用，例、习题讲评.

（1）等腰三角形中有一个角是40°，则它的顶角是______；

等腰三角形中有一个角是110°，则它的顶角是______，底角是______；

等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为11cm，那么它的三边长为______.

（2）如图5，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，BC=6cm，若AD⊥BC于点D，则∠BAD=____°，∠ACB=____°，BD=____cm.

教学环节（六） 师生小结.

1.等腰三角形除了具有一般三角形的一切性质，还具有轴对称性质，反映出两条性质定理.

2.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

二、课例赏析

1.深刻理解数学知识，学材再建构.

教材上“等腰三角形（第1课时）”通常是先学习等腰三角形的性质，第2课时学习判定，第3课时学习等边三角形.但是李老师基于深刻理解数学知识的高度，将第1课时的教学内容增加了等边三角形，将等腰三角形特殊化后就顺利得出等边三角形的诸多性质，体现了她学材再建构的深厚功力.

2.精准理解学生难点，学法三结合.

通过理解学情与明辨教学难点，李老师将这节课的教学用力点主要放在定理的证明上.由于等腰三角形“等边对等角”比较容易理解和接受，学生在小学阶段已经常运用，但是深入追问背后的道理与证明，这是初中几何教学的重点与难点.难点首先在学生要把命题的题设与结论恰当表示出来，并以图形、符号语言的方式写出来，再开展证明.证明时，由于不同的辅助线证明路径也不一样，这时李老师通过不同的证明路径的预设，为我们示范了“学法三结合”，即学生独立自学、小组交流、大组全班展示.

3.精心预设开放教学，学程重生成.

郑毓信教授倡导的开放教学，是指利用开放式问题通过对话与互动，把学生的思维打开，不限制学生的思路，但是学生的回答往往又在教师可控的范围之内，能恰当地聚焦在课堂教学目标上.从上面的课堂问题与教学环节中的一些预设活动来看，李老师预设了不同的证明思路和路径，使得学生不论出现哪种思路都会在她的“掌控”之下，而且三种思路全“引出”之后，又可在“殊途何以同归”的追问之下，让学生自然而然地得出等腰三角形“三线合一”的性质，这正所谓“随风潜入夜，润物细无声”的教学艺术.

1.李庾南，祁国斌.自学·议论·引导：涵育学生核心素养的重要范式［J］.课程·教材·教法，2017（9）.

2.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

4.李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.W