预设铺垫突破难点，变式再练效果反馈<br/>——期中试卷讲评记录与教学思考

预设铺垫突破难点，变式再练效果反馈
——期中试卷讲评记录与教学思考

2018-03-30江苏南通市海安县紫石中学仲世龙

中学数学杂志 2018年6期

☉江苏南通市海安县紫石中学仲世龙

当前教学生态下，考试是一个不得不面对的现实话题，阶段测试、单元测试、期中考试、期末考试、学年末考试，等等，考试之后老师们都面临着讲评，如何讲评才能获得更大的收益呢？这是个值得深入探讨的教研话题.本文记叙一次八年级上册期中试卷讲评的课例，并跟进教学思考，供研讨.

一、试卷讲评课中题例与讲评记录

考题1：若x2+4x+m是完全平方式，则m的数值为（）.

A.4 B.-4 C.±4 D.16

讲评记录：这道题错误率低，但考虑到这是一个重要题型，值得变式拓展，所以我们让出错的学生回顾了完全平方式x2+4x+4，并跟进变式如下一个题组：

变式1：若x2-6x+m是完全平方式，则m的数值为_____.

变式2：若x2+kx+9是完全平方式，则k的数值为_____.

变式3：若x2+（k-4）x+18是完全平方式，则k的数值为_____.

变式4：若4x2-（k-4）x+25是完全平方式，则k的数值为_____.

通过这一组系列变式，让学生对完全平方式这种题型有了较全面的掌握.

考题2：如图1，△ABC的面积等于6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在射线AD上的C′处，点P在射线AD上，则线段BP的长不可能是（）.

A.3 B.4 C.5.5 D.6

讲评记录：这道试题有近四分之一的学生出错，究其原因，有以下几种障碍.障碍点之一，没有读懂或明确试题求解的方向，不知道应该分析点B到射线AD的距离；障碍点之二，没有结合已知条件中的面积与AC的长分析出点B到AC边上高的长.考虑到学生可能的障碍，我给出两个铺垫式问题：

铺垫式问题1：由△ABC的面积等于6，AC=3，你能求出哪些信息？（边AC上的高为4）

铺垫式问题2：点B到直线AD的距离你能求出吗？再给出两个变式跟进练习：

变式1：如图1，△ABC的面积等于8，AC=2，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在射线AD上的C′处，点P在射线AD上，分析线段BP的长的取值范围.

变式2：（其余条件不变，同考题2）当PA=2AC时，求四边形APBC的面积.

考题3：如图2，在△PAB中，PA=PB，点M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P为（）.

A.118° B.96° C.90° D.84°

讲评记录：这道试题有两处关键.第一是发现全等三角形（△AMK≌△BKN），从而得到对应角∠AMK=∠BKN；第二是沟通∠A=∠MKN=∠B，再把思路放到△ABP中，可求出∠P的度数，给出如下几个铺垫式引例：

铺垫式问题1：该图形中哪两个三角形全等？判定依据是什么？写出这两个全等三角形的对应边与对应角.

铺垫式问题2：有人说，这个图形中体现了“一线三等角”的经典图形，你是怎么理解的？（沟通∠A=∠MKN=∠B，就有“一线三等角”模型，但是这三个角相等并不是条件直接给出的）

考题4：已知a、b为任意数，x=a2+b2+5，y=-2（2b-a），则x、y的大小关系是（）.

A.x≥y B.x＞y C.x＜y D.x=y

讲评记录：这道题主要考查作差法与配方法，设计铺垫问题两个：

铺垫式问题1：作差法比较两数的大小，分三种情况，当x-y>0时，说明x>y.大家计算一下本题中的x-y是多少.（学生展开运算：x-y=a2-2a+b2+4b+5）

铺垫式问题2：分析一个多项式的正负，往往可以将其配成完全平方的形式，本题展开后得到的a2-2a+b2+4b+5，该如何配方呢？（可配成a2-2a+1+b2+4b+4）

变式再练：已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2.

（1）求证B-A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大，说明理由.

目前，云南省防汛抗旱指挥部已决定自10月15日16∶00起恢复正常防汛工作。洪峰未造成电力设备设施受损，主动停运线路已全部恢复供电。所有安置点均正常供电，应急发电设备未启用。目前云南电网公司维持自然灾害(强降水、地质灾害)黄色预警，迪庆局结束应急Ⅲ级响应，丽江供电局结束Ⅳ级响应。迪庆境内沿江地带水位基本恢复正常状态，迪庆局水位观测人员已经全部撤离现场进入待命状态;灾民安置点已无人居住，保供电人员已全部撤离。丽江局灾民安置点已无人居住，经灾情研判并经政府同意，丽江局应急人员、装备、车辆已全部撤离。

预设讲评：第（1）问属于同类跟进，第（2）问则属于变式到其他类型.

考题5：如图3，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）.

A.13 B.12.5 C.10 D.8

讲评记录：这道试题有两处障碍，一个易错点.障碍之一，没有联系到“将军饮马”模型，选取C点关于直线EF的对称点A，并连接AD交EF于M点；障碍之二，没有顺利求出AD的长.易错点是求出AD的长就匆忙作答，忽略了试题要求的是△CDM的周长.

考题6：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于______.

讲评记录：这是一道无图题，主要障碍是构图困难.事实上这类问题有一个通用的解题流程，可先作一个半圆，在半圆上取一点，再标出字母进行分析.

如图4，取一个半圆A，点B1、B2为直径两端点，在半圆上取一点C，则三角形AB1C与三角形AB2C是符合要求的两个等腰三角形，再分别作这两个等腰三角形腰AB上的垂直平分线与直线AC相交成50°，这时可分别求出两个等腰三角形的顶角∠BAC=40°或140°，于是待求的底角∠B就为70°或20°.

同类变式：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的底角的角度为______.

考题7：如图5，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2，若点M、N分别在OA、OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有______个.

讲评记录：这道题的难点也在构图，一个特殊位置可以探究出来，即过点P分别作OA、OB的垂线段PM、PN，此时容易根据四边形OMPN的内角和确认∠MPN为60°，进一步求出PM=PN，所以三角形PMN是等边三角形.在此基础上，可以将∠MPN绕点P旋转任意角度，与OA、OB相应的交点为M′、N′，利用全等三角形可证出PM′=PN′，于是它们也是符合要求的M、N点，即待分析的三角形PMN有无数个.

同类变式：如图6，OC平分∠AOB，∠AOB=90°，点P是射线OC上一点，且OP=4，点M、N分别在射线OA和OB上，若△PMN是等腰直角三角形，则符合条件的△PMN有_______个.

二、关于试卷讲评课的教学思考

1.做好数据分析，明辨难点，预设铺垫式问题突破难点.

考试之后，进行必要的数据分析，具体到各个小题的得分情况，针对学生失分较高的试题，教师要明辨难点，想清学生可能有哪些障碍点，并针对这些难点、障碍点或易错点预设铺垫式问题，化解难点，启发学生自主获得思路，突破障碍.更为重要的是，通过预设系列铺垫式问题，让学生看清自己在哪个障碍上存在不足，便于找到以后注意要修补的漏洞.

2.开展变式改编，同类跟进，有效反馈错题的订正效果.

进评一道易错题或较难题之后，为了有效反馈学生对这类错题是否真正理解或掌握了，可以对原题进行一些变式改编，同类跟进.比如，考题4讲评时，作为必要的变式，在变式跟进的题目中，我们还对用作差法比较大小进行了变式，第（2）问作差后，C-A=a2+4a-21.这时得出的式子不是完全平式加上一个正数的情况，就需要分类讨论.比如，将其进一步分解因式得（a+7）（a-3），结合a＞2，有a+7＞0，分三种情况进行讨论，比较大小.