初中生数学解题能力培养的若干策略

☉江苏南京育英第二外国语学校 吴丹丹

波利亚在《数学的发现》中提出：“中学数学教学的首要任务，就在于加强解题能力的训练.”［1］对学生解题能力的培养，不仅可以发展学生的逻辑思维能力，教会学生如何思考，更有利于学生自信心的建立和良好数学学习习惯的养成.培养和提高学生的解题能力，也是广大一线教师的不懈追求.如何培养学生的解题能力成为教师教学的重点.下面笔者结合自己的教学实践，谈谈在学生解题能力培养方面的一些策略.

一、关注整体教学，激活学生联想

学生能否顺利解题，关键在于学生能否通过审题，形成解题思路，而其实质是学生审题时联想到的知识点有多少，这决定了学生能否解出这道题，或者能否找到最优解法.解题当从追求自然生长的最近联想开始.学生审题时所联想到的知识点就是学生的最近联想，最近联想越丰富，学生解题就越迅速，解法就越直接.因此，对教材有整体性的把握，从主线上帮助学生建构最近联想，比较容易帮助学生在解题时找到思路，快速寻求到有效信息，从而形成解题思路.

案例1：笔者在教学苏科版八年级上册第二章轴对称图形的复习课时，引导学生思考回顾，形成了如图1所示的整体性框架，学生在审题时就可以围绕这样的框架进行联想解题.

从框架中可以看到的联想有如下4条：①线段垂直平分线的联想有3个点；②角平分线的联想有3个点；③等腰三角形哪两边相等的分类，这在综合题中常常出现；④等腰三角形的顶角大小，导致形状不同，从而产生问题的多解性.后面又对三角形中的三条特殊线段的性质做了一些联想和总结.通过这种整体性的学习，可建立丰富的最近联想，使学生对知识点之间的联系更清楚，可以有效提高解题效率，有助于学生快速找到最近联想，根据已有经验形成解题思路.

二、挖掘教材内涵，构建基本模型

罗增儒教授曾在《中学数学解题的理论与实践》中提到：“当知识链的某一个环节受到刺激时，整条知识链就会活跃起来.有意识积累知识链，是优化知识结构的一个途径，也是开拓解题思路的一个源泉，脑子里的知识链越多、越长，解题的思路与念头也就越广、越快.”［2］认知心理学认为，科学的建立知识组块，是将零散的知识通过分类、比较、联系等方法进行元认知，压缩成更密集的组块，简缩思维形式，加速思维进程.这就要求教师在教学的过程中注意引导学生积累基本模型.如何建立知识组块，构建基本图形呢？简单告知学生有哪些基本模型，学生往往印象不深刻，或者在解题过程中使用不熟练，不能恰当地构造基本模型.教师可以通过引导，启发学生自己建构基本模型，有了自主建构的活动经验，学生才能有效地将模型内化为己有，在解题时适时构造，灵活应用.

教师应创造性地理解和使用教材［3］.教师在教学过程中有效利用教材中典型习题进行教学，将课本中的零散知识有目的地组织整理，引导学生自主发现并总结，给学生一个自我建构基本模型的机会，发现基本模型中的不变量和基本关系，抓住基本模型的关键特征.这样可以有效培养学生发现、提出问题，分析、解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.下面是笔者在课堂中基于课本，引导学生自主建构基本模型的实例.

案例2：“小燕子模型”（如图2）.

基本信息：

大三角形中：①公共角，②对应长边-对应短边；

小三角形中：③对顶角，④对应长边+对应短边（折线→直线）.

模型建构：

1.苏科版数学八年级上册课本P14练习题2.

已知：如图2，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，求证：△ABE≌△ACD.

课本选题用意：引导学生发现图中暗含公共角的信息.

2.苏科版数学八年级上册课本P22练习题2.

已知：如图3，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且∠B=∠C.求证：DB=EC.

课本选题用意：①利用公共角证明全等；②引导学生发现图中线段的和差关系：全等三角形的对应长边-对应短边.

3.苏科版数学八年级上册课本P30题6.

如图4，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点F. 如果BD=CE，∠B=∠C，试找出一对全等三角形，并证明.

课本选题用意：①利用隐含条件对顶角证全等：②线段的和差关系：全等三角形△BFD和△CFE的对应边BF=CF，DF=EF，得BE=CD，简称“折线→直线”.

根据对上面三个小题的观察和总结，学生可以轻松地发现这样的图形中，会有四个基本信息藏在其中：①大三角形中公共角相等；②全等三角形的对应边相等；③对顶角相等；④全等三角形对应长边+对应短边相等（折线→直线）.为了方便称呼，学生给这个基本模型起了个名字“小燕子模型”.

模型应用：苏科版数学八年级上册课本P36题10.

如图5，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O.如果AB=AC，那么图中有几对全等的直角三角形？试证明你的结论.

分析：此题出现在课本章节总复习的灵活运用中，具有一定的难度，由于前面和学生一起总结了“小燕子模型”的基本信息，学生能够轻松解决问题，大大缩短了学生的思考时间.课堂中笔者又对此题做了适当的变式，

变式1：图形不变，若去掉所有的已知条件，只给出AD=AE，BD=EC，你能证出图中所有的全等三角形吗？

变式2：图形不变，已知BD=EC，∠B=∠C，你能证出所有的全等三角形吗？

学生在解决变式的过程中都显得很轻松，还有学生甚至打断我的变式，提出了一个新的发现：只要给我们的条件能够证出这些三角形中的任意一对全等，就可以证出其他的三角形全等.

与这个模型对应的还有一个模型（如图6），证法几乎和小燕子模型一模一样.模型的形成过程在这里不再赘述.学生根据其形状把它称为“猫耳朵模型”.

类似可以建立的模型还有很多，如八字形、飞镖型、等平角模型（等腰、平行角、平分线模型）、公共点旋转型等，一个个基本模型就是一个个组织良好的数学知识结构，学生自主建构的基本模型越多，解题时联想的知识结构就越多，解题就越高效，解题能力自然得以提高.

波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本，良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至比知识的广泛更为重要……把你记忆里的知识安放得有条不紊只会对你有更多的帮助.”［1］

三、锻炼画图能力，获取直观猜想

图形是数学表述的重要语言和方式，它可以较为直观地反映一些抽象的数学关系和特征.解题过程，起于观察，经历思考，成于方法.没有准确的图形，就难以从直观上观察出正确的结果.因此，能够根据题目条件，正确画出图形，成为学生解题的必备能力.学生根据题意作图的过程也是分析题目条件的审题过程，在画图中发现图形中的不变量，理清变量之间的关系.画出正确的图形，有助于学生通过直观得出正确的猜想，培养学生的几何直观能力.因此，教师在教学过程中，要有意识地培养学生的动手画图能力.

案例3：如图7，△ABC中，∠ACB=90°，点Q为斜边AB的中点.动点P在直线AB上（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F.

（1）如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是______，QE与QF的数量关系是______；

（2）如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图③，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.

学生在做练习时曾遇到这样一题，在完成第二小问时，即便是猜，学生也没能给出正确答案，而且完全没有思路.笔者在讲评时未作过多引导，只是要求学生按照题目条件要求，自己重新画图，再完成此题.结果反差很大，多数学生通过独立作图并观察，给出了正确的结论，一部分学生很快有了思路，并能够顺利解题.通过观察不难发现，原题给的图不符合图形的基本特征，中点Q不是线段AB的中点，从而影响学生通过直观猜想得出正确结论.此外，画图还可以启发学生的思维，如果题干改为“当点P是Rt△ABC斜边AB所在直线上一动点时”，学生在根据题意画图的过程中，会为P点的位置感到困惑，不知该画在何处，从而受到启发，想到有分类讨论的必要.可以看出，根据题意准确画图，从某种意义上说可以防止漏解.

学生画图能力的培养不能一蹴而就，需要长期一贯培养.苏科版教材的编写，具有螺旋上升式的特点，因而对学生的能力也要求螺旋上升.只有长期一贯关注学生画图能力的培养，学生在解综合题时才能如鱼得水.在七年级时，教师在教学时要注重实际操作与实践，帮助学生积累数学活动经验，在操作中感受图形的变化，形成直观感受；在八年级学习几何时，要让学生把静态的图形，在脑海中作运动变换.可通过几何画板演示，再根据题意画图.随着学习的深入，学生的画图能力也将逐步加强.经过长期训练，学生的解题能力在画图能力提升的同时得以提高.

笔者认为，学生解题能力的差异，往往是因为学生的数学知识结构、思维习惯和基本活动经验之间存在差别.利用整体性教学方式完善学生的数学知识结构，丰富学生的最近联想.训练学生熟练画出准确的图形，培养学生良好的思维习惯，可以增强学生的审题能力和直观想象能力.构建一些基本图形，了解其蕴含的数量关系和位置关系，可以帮助学生积累解题经验，提高解题效率，从而达到发展学生解题能力的效果.当然，提高数学解题能力是一项长期、复杂的系统工程，它与学生的学习目的、学习态度、学习方法等密切关，我们在进行数学学习时，应该把发现问题和解决问题放在首要地位.学习数学应当有“法”，但又无“定法”，解决问题也是这样.［4］

1.［美］波利亚，著.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授［M］.刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.

2.罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.谌涵.浅谈中学数学解题能力的培养［J］.数理化解题研究，2016（4）.W