变教为学，让数学因“理解”而亲切——“公顷和平方千米”教学片段与思考

◇葛敏辉

当下的数学教学中，依然存在着过分追求知识目标，忽略学生主体地位，割裂儿童与数学联系的现状。为了改善这种“重教轻学”的现状，将儿童从被动学习的状态中解放出来，我们可以基于学生经验和意义理解开展数学教学，使学生在主动寻求和积极构建中完成对数学赋予个人的理解。为此，笔者以“公顷和平方千米”一课教学为例，来谈谈对“变教为学”的一次尝试。

活动一 激活经验，产生冲突

师：今天我们主要讨论面积单位，关于面积单位你已经知道了什么？

生：平方厘米、平方分米、平方米。

生：平方千米。

生：公顷。

师：你知道它们之间的关系吗？能不能从低到高进行排列？

生：平方厘米、平方分米、平方米、平方千米、公顷。

生：平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米。

师：你支持谁的观点？（学生不确定）主要的分歧在哪儿？

（生答略）

师：刚才大家说“平方厘米、平方分米、平方米”的序列肯定是没问题的，你们是怎么想的？

生：因为长度单位是从厘米到分米，再到米的。

生：因为边长1厘米的正方形面积是1平方厘米，边长1分米的正方形面积是1平方分米，边长1米的正方形面积是1平方米。

生：1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米，1平方米=10000平方厘米。

思考：我们在前测中发现69.7%的学生已经知道了较大的面积单位公顷和平方千米，可见学生对此并不陌生。但由于学生知识储备中与之相关的生活经验非常少，不太容易建立起正确的表象，因此往往会陷入不知道它们的意义、分不清哪个是高级单位的困境，前测中只有9.1%的学生排序正确正好说明了这一点。但不难发现，定义面积单位时都离不开长度单位的支持，每个面积单位都有一个长度单位与之相对应，这为学生理解意义和建立关联提供了良好的基础。因此，这个环节教师开门见山提出问题，激活学生的经验，让学生在回忆和整理的过程中发生认知冲突，为他们进一步思考和探索创造了很好的心理环境和认知准备。

活动二 自学课本，理清关系

师：它们的位置到底该怎么排呢？请带着这个问题自学课本。

生：我觉得应该是先公顷后平方千米这样的排序，大家同意吗？

生：我同意。因为边长是100米的正方形面积是1公顷。边长是1000米的正方形面积是1平方千米。大家还有没有补充？

生:1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷。

（板书如图1）

师：还有什么问题吗？

生：为什么唯独公顷和平方米之间的进率是10000？

生：我也有这样的疑问，感觉那个地方特别不舒服，其他同学有什么想法吗？

生：这里是不是掉了一个单位？

生：我也觉得这里可能还有一个单位。

师：为什么？那它应该是一个怎样的面积单位呢？

生：我认为应该是边长是10米的正方形面积那么大，其他同学怎么想？

生：根据前面的规律，相邻边长都是10倍关系，1米的10倍就是10米。

生：如果这个面积单位是边长10米的正方形面积，那么它们相邻之间面积单位的进率就都是100了。

师：你们的想法和数学家们规定这些面积单位时的想法是一样的！确实还有这样的一个单位，有人叫平方十米，其实也叫公亩！

生：如果它叫平方十米的话，那么公顷可以叫平方百米吗？

（师板书如图2）

图2

思考：因为公顷和平方千米的定义方式与之前的面积单位是一样的，因此学生完全可以通过自学来掌握它们的定义，从表面上解决前面环节的认知冲突。当学生发现平方米与公顷之间的进率是10000而不是100时，新的学习生长点自然地产生了。学生非常有兴趣地对此展开了思考和讨论，大胆猜想它们的中间可能还有一个面积单位，并且这个面积单位应该是“边长是10米的正方形面积”。在这一系列交流的过程中，学生进行质疑、猜测、分析、创造，这是他们发自内心的思考。他们体会到了知识发展的过程，完成了递进式的理解和结构性的关联。

活动三 丰富体验，巩固理解

师：1公顷有多大呢？下面我们用自己熟悉的场所来表示1公顷的大小。

（生用教室、操场、篮球场、家等来描述1公顷的大小）

师：图3中A区域是我们学校的操场，附近国茂大厦周围的居民区（图3中B区域）大约是（ ）公顷。我们学校大约有（ ）公顷。

图3

师：如果从我们的学校大门口出发，一直向北到华厦大道，再向西到万盛北路，再向南到大寺路，最后向东回到起点，（如图4）这块区域的面积大概有多大？

生：比50公顷要大。

生：我反对，我觉得有90多公顷。

生：可能是100公顷。

师：说说你们是怎么想的。

图4

思考：学生通过用熟悉的场所来描述1公顷的大小，使公顷这个面积单位变得亲切起来。同时通过操场、校园、附近的居民区、熟悉的街道等素材，把抽象的面积单位变得形象化、具体化。我认为，这里并不需要花时间让学生亲自体验1公顷有多大，而应引导学生从经验或观念上把握。数学课的学习，并不强调非得通过经历才能掌握知识，而应更多地依靠学生自己的思考和数学内在的逻辑来形成认知突破。