论证视角下的“三角形内角和”教材理解与教学设计（一）

◇宋煜阳

“三角形内角和”由“三角形”“内角和”两个具体概念构成。既然是讨论三角形内角和，内角自然成为重要的研究对象。而对于内角概念，除浙教版教材有一个举例描述（如图1）外，大陆其他版本教材都没有给出具体定义，对内角概念只字未提。值得我们进一步思考的是：需要出示内角概念吗？需要专门进行内角概念教学吗？笔者认为，无论是对三角形内角和的理解还是应用，都有必要进行内角概念的教学。

图1

一、在三角形拼组或分割中理解内角和，内角的指认需要以定义为依据

有人认为，学生在学习三角形内角和时对内角指认困难不大，三角形内角概念也无须专门出示和教学。其实不然，学生对三角形内角的指认如果局限于单个三角形，不涉及外角，指认正确率确实较高。一旦这个三角形是由几个小三角形拼组或由平面图形分割而成，学生对它的内角指认正确率就会大大降低。

笔者抽取了所在区域城乡8个班400名四年级学生，就图2、图3、图4中△ABC的内角标注进行了前测。其中，图2正确率为76.8%，图3正确率为37.3%，图4正确率为35%，前测数据显示多数学生在图形拼组或分割中指认三角形的内角是存在困难的。以图4为例，这种困难一方面表现为无法准确指认出拼组合成的三角形的内角，如内角∠BAC不是单个角，是由∠BAD、∠DAC拼组合成的；另一方面表现为无法解释像∠ADB和∠ADC在△ABC内部却不是它的内角。在图形拼组或分割中指认三角形内角，绕不开“为什么它是（不是）内角”的解释，而解释的依据恰恰就是内角的定义。

图2

图3

图4

二、应用三角形内角和探索多边形内角和，内角概念成为推算的关键

人教版、苏教版、北师大版等教材都编排了利用三角形内角和来探索多边形内角和的教学内容。如人教版教材中呈现了两种方法（如图5）:方法一是用撕拼方法将四个内角拼成周角，直观得出结论；方法二是连接对角线将四边形分割为两个三角形，通过转化得出四边形内角和。

图5

实际教学显示，学生最为常用的方法是以下两种（如图6、图7）。多数学生能将四边形分割为三个或四个三角形，却在后续的推算中出现困难。因为面对这两种分割方法的推算，学生必须明确图6构成平角的三个角、图7构成周角的四个角不是四边形的内角，从而理解为什么要从多个三角形内角总和中减去180°（360°）。也就是说，在四边形内角和整个探索过程中，一旦具有了转化思路，内角概念就成为解决问题的关键。

图6

图7

三、多位名师重视内角概念教学，采用直观方式对内角进行了定义

特级教师朱乐平、朱德江、顾志能、苏明强等在“三角形内角和”一课教学中均给出了内角概念，开展了相应的教学活动。不过，这些名师在内角概念描述上略有不同，主要有以下三种方式。

方式一，结合图示举例描述。如顾志能老师，教学中结合三角形图形指出“三角形内的三个角叫作内角，每个内角都有度数，三个内角度数的和就叫三角形的内角和”，在描述方式上与浙教版教材基本一致。

方式二，结合图形内外部给出内角、外角概念。如苏明强老师，教学中先结合长方形的四个直角，引导学生讨论得出“这些角都长在这个图形之内称为内角”“如果角长在图形之外就称为外角”；将长方形的一条边延长，找到它的外角；然后类比找出三角形的内角与外角。

方式三，结合图示给出直观定义。如朱乐平老师，教学中结合三角形图指出：“∠1、∠2、∠3都在三角形的内部，我们称它们是三角形的三个内角。”又如朱德江老师，教学中结合已学平面图形指出：“这些平面图形中都有角，我们把图形中相邻两边的夹角称为内角。”

上述四位名师的教学中，尽管对三角形内角描述方式上并不完全相同，但都采用了直观的方式对内角概念进行了定义，并专门安排了概念教学。

综上所述，内角是三角形内角和相关内容学习不可或缺的重要概念，建议教材出示内角概念，并开展必要的概念教学。在内角概念教学中，建议给出直观描述性定义，可以将内角、外角概念对比呈现进行区分，同时要加强对若干个三角形拼组或分割后内角的指认。