索-梁耦合振动下的拉索复合减振方法研究

梁 栋， 狄方殿， 陈红霞， 段文博， 李紫硕(.河北工业大学 土木与交通学院，天津 30040；2.河北省土木工程技术研究中心，天津 30040)

现代大跨度斜拉桥跨度大、桥塔高、主梁轻柔且广泛采用阻尼较小的钢结构，这些特点使大跨度斜拉桥的整体频率持续降低，与拉索频率已十分接近。以苏通大桥为例，当主梁发生振动时，其1～5阶对称竖弯频率为0.184～0.669 Hz，1～4阶反对称竖弯频率为0.219～0.60 Hz[1]；边跨拉索面内振动基频的范围为0.251～0.758 Hz，中跨拉索面内振动的基频范围为0.238～0.755 Hz[2]。由此可知，大跨度斜拉桥索、梁频率重合或接近的范围非常宽泛，在外界激励下发生索-梁耦合振动是不可避免的。

既有的研究成果表明，大跨度斜拉桥一旦发生索-梁耦合振动，将会导致索端阻尼器减振作用的大幅度降低[2-3]。同时大量工程实践也表明，安装了各种减振装置的斜拉桥，在一定情况下仍然会发生大幅振动。例如，1988年，比利时Ben-Ahin斜拉桥多根拉索发生了最大幅值超过1 m的大幅振动，并伴随着桥面轻微振动，有研究者认为桥面发生轻微振动将会进一步加剧拉索的振动[4]。1996年，荷兰Erasmus斜拉桥使用不久就出现多根拉索发生严重的大幅度振动现象，同时伴随着桥面的振动，振幅达2.5 cm[5]。1993年，Fujiwara等对一斜拉桥进行现场振动测试时，发现某一根拉索的二阶振型与主梁扭转振型出现了明显耦合振动的现象[6]。1999年，日本的多多罗大桥在进行成桥试验时，也出现索-桥耦合振动的问题。在我国很多斜拉桥也曾出现过拉索大幅度振动的现象。2012年8月，在台风海葵的影响下，苏通大桥及其斜拉索都出现了明显的振动，特别是风速超过15 m/s时，主梁和拉索的振动徒然加剧。另外，我国的杨浦大桥[7]、洞庭湖大桥[8]等也出现过拉索不同形式的大幅振动。在索-梁耦合振动机理及其影响与危害尚不明确的情况下，积极研究有效的抑振措施，降低疲劳损伤的概率，就成为大跨度斜拉桥的研究热点之一。

为了弥补常用黏滞阻尼器减振效果的不足，人们很早就对利用调谐质量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)抑制吊杆振动展开了很多有益的研究工作。相对于吊杆，斜拉桥拉索具有较小的抗弯刚度，沿索长分散安装MTMD并固定其振动方向较为困难，因此MTMD一直未能在斜拉索减振工程中得到实际应用。

本文提出将MTMD与拉索常规黏滞阻尼器组合起来，形成安装在拉索端部的复合减振装置，用于抑制大跨度斜拉桥索-梁耦合振动发生时的拉索振动。本文利用理论推导和室内试验证明了该方法的有效性，针对某超大跨度斜拉桥的拉索，计算了黏滞阻尼器和MTMD的相关参数，证明了该方法的可行性。

在国内外对大跨度斜拉桥建设需求日益高涨，对其关键技术的应用研究日渐活跃的背景下，针对超大跨度斜拉桥发生的索-梁耦合振动开展相应的拉索减振方法研究不仅具有重要的理论意义，而且也是迫切的现实需要。

1 黏滞阻尼器与MTMD的复合减振分析

传统黏滞阻尼器一端(活塞)安装在拉索上，另一端(缸体)安装在桥面上。在假设桥面不动的情况下，拉索振动将引发阻尼器活塞与缸体之间的往复运动，通过内部阻尼液产生阻尼效果，这也是速度型阻尼器的基本原理。而在发生索-梁耦合振动的情况下，索与梁的同相位振动会减少活塞与缸体之间往复运动的行程和相对速度，造成减振效果的大幅降低[9]。

本文拟在传统常规黏滞阻尼器的活塞内安装小型MTMD装置，提出利用MTMD与黏滞阻尼器进行复合减振。拉索振动的能量一部分通过黏滞阻尼器消耗，一部分则通过TMD消耗，整体减振效果是这两部分的叠加。通过黏滞阻尼器活塞与拉索相连的TMD，不与梁体有任何直接接触，减振效果不受梁体运动的影响，即TMD所提供的拉索对数衰减率是恒定的。而传统黏滞阻尼器所提供的拉索对数衰减率则随索-梁振动的耦合程度而变化，索与梁的同相位振动会降低其减振效果。因此通过合理的设计，利用TMD弥补黏滞阻尼器减振效果降低的部分，即可实现索-梁耦合振动下的拉索复合减振。

鉴于TMD对振动频率极为敏感，每个TMD将用于抑制某一阶的拉索振动，其设计参数将与拉索的该阶振动特性相适应。

1.1 拉索、Kelvin阻尼器与TMD组成的理论分析模型

基于TMD的频率敏感性，本文在理论分析模型中选择了单个TMD与黏滞阻尼器组合，以了解该复合减振方法的抑振机理。为此，建立了拉索、Kelvin阻尼器与TMD构成的复合系统理论分析模型，如图1所示。

图1 拉索、Kelvin阻尼器与TMD组成理论分析模型

在静止平衡条件下，拉索力学参数分别为：索力T、拉索长度L、拉索每米质量m，复合减振装置距离拉索端部l1。拉索轴线方向为x轴，其法线方向为y轴。为简化分析，设拉索为张紧弦，不考虑其垂度、抗弯刚度和自身阻尼的影响。设拉索面内振动时位移分量为v，则拉索动力特性方程为

(1)

式中：νk为各段拉索的横向位移；xk为第k段拉索的轴向坐标，k=1,2。除了阻尼器安装位置外，拉索任意位置处偏微分方程(1)都成立，可通过下列边界条件方程的求解

v(0,t)=0；v(L,t)=0

(2)

满足条件(2)时，通过分离变量法可知式(1)解的形式如下

vk(xk,t)=Vk(xk)eiωt

(3)

式中：ω表示复特征频率。将(3)代入特性方程式(1)可以得到常微分方程式如下

(4)

在拉索的安装阻尼器-STMD位置点，微分方程需要满足如下的位移连续性条件

v1(l1,t)=v2(l2,t)=γ

(5)

(6)

拉索-阻尼器-STMD系统的竖向平衡方程为

(7)

(8)

因为TMD的振动形式与其安装点拉索的振动形式是一致的，阻尼器位移和拉索位移的关系如下

vd=αvk

(9)

(10)

式中：ξ为TMD的阻尼比;ρ=ω/ωd表示拉索频率与TMD振动频率之比。式(3)、式(6)、式(10)代入式(7)可以得到拉索-阻尼器-STMD系统的复特征频率方程式为

(11)

方程中复波数解记作βn,n=1,2,3…，ωn为对应的复特征频率，系统模态阻尼比ξn和复特征频率ωn的关系如下

(12)

为了方便推导出近似解析式，由l1+l2=L的关系，可以将拉索-阻尼器-STMD系统的复特征频率方程(11)可以写成下面的形式

(13)

1.2 复合减振系统的复模态近似求解

tan(βnL)=εl+ο[(εL)3]=βnL-nπ

(14)

式(14)代入式(13)后，式中的三角函数项采用泰勒级数展开并忽略其中的高阶微量，化简可以得到

(15)

则，安装阻尼器-STMD后拉索各阶模态下对数衰减率可近似表示成

δn=2πξn=

(16)

1.3 附加TMD参数的分析

表1中给出了某斜拉桥最长拉索及其安装的阻尼器相关参数。当利用经典理论进行分析时，该阻尼器可以使拉索的一阶振动对数衰减率达到理论设计值0.04。

表1 实索及其优化安装阻尼器的相关参数

根据索-梁耦合振动对拉索减振性能的研究[10]发现，根据使拉索对数衰减率为0.04设计的黏滞阻尼器，当发生索-梁耦合振动时，其可为拉索提供的对数衰减率大小仅为0.015。为此，必须使附加TMD对拉索减振的贡献达到0.025时，才能满足拉索减振要求。

本文以表1拉索为例，利用式(16)讨论TMD参数对拉索并附加黏滞阻尼器系统减振效果的影响。由工程经验确定了TMD各基本参数及相应各参数的取值范围，具体见表2。根据上文理论结果表达式(16)分析TMD各主要参数对实际斜拉索减振效果的影响情况，具体如图2～图4所示。

表2 TMD基本参数及其取值范围

图2 质量的影响

图3 阻尼的影响

图4 频率比的影响

由图2可知TMD较大的质量有助于提高黏滞阻尼器减振效果，但考虑实际情况，安装质量不宜过大；图3可知较小的阻尼比，特别是<0.005时，有利于提高粘滞阻尼器减振效果；通过图4可以看出TMD频率敏感性极强，只有当其自振频率与拉索所要控制频率相接近时才能有助于提高常规黏滞阻尼器对拉索的减振效果。上述结果与罗帅等[11]的研究是一致的，图2～图4也验证了式(16)的合理性。

众所周知，TMD的减振效果受其安装质量、自振频率及阻尼的影响。以TMD频率比为1.0、安装质量尽可能小为原则进行参数设计，为使附加TMD对拉索减振的贡献达到理论设计值0.025，通过式(16)计算可以得到一组较好的参数取值，TMD的相对参数分别为：TMD安装质量比0.0042，ρ为1.0，TMD阻尼比为0.001。

2 试验研究

本文通过理论与试验相结合的方法研究常规粘滞阻尼器附加TMD的复合减振效果，为此试验建立了包括拉索、Kelvin阻尼器与TMD组成的简化力学模型，选用与图1理论分析模型相似的物理模型，见图5。

图5 试验模型

2.1 试验概述

考虑到试验条件和实验室具体情况，本试验中选用一根直径为9.3 mm的钢丝绳作为拉索，试验拉索安装小质量块来增加自重。模型索水平放置，其各项参数见表3。

表3 试验模型索和TMD的物理参数

本文试验设计了简易阻尼器装置，包含TMD和Kelvin阻尼器，具体构造见图6。试验设计的TMD由锥形质量块、轻质高强铝材框架、弹簧、两根竖向细杆和黄油桶等组成，系统中阻尼力通过油阻尼的形式施加，由于混合油自重会大大增加TMD的额外自重，故将黄油以固定边界的形式施加到模型中；Kelvin阻尼器采用油桶和插片，以混合油作为阻尼介质。TMD参数见表3。

试验中拉索采用激振器激励，根据试验要求设计了如图7所示的激振装置。为了尽量减少各种摩阻力，位移数据使用激光位移计进行采集；安装拉压力传感器用于索力及阻尼力的测定。试验各传感器的布置及具体用途如图8所示。

图6 试验模型-阻尼器Fig.6 Testmodal-damper图7 激振装置Fig.7 Thevibrationexciter

本文通过自由振动的衰减来考察减振效果，首先利用激振器在拉索一端0.6 m处激振，激振待拉索振型稳定后去除，即可得到索-阻尼器(+TMD)系统平面内的自由振动。拉索自由振动条件下，对试验采集的时程曲线进行指数函数的曲线拟合，通过对拉索二分点处时程曲线的曲线拟合可以求得拉索发生一阶模态振动时的对数衰减率δ1；同样，对拉索四分点进行拟合可以得到相应的拉索二阶模态振动下的对数衰减率δ2。本文采用的试验步骤为：① 安装试验所用拉索，两端锚固；② 调整拉索使其水平，安装拉索张拉设备及测力传感器并张拉索力至设定值；③ 安装试验所设计的模型阻尼器装置及位移传感器和拉压力测量传感器；④ 进行试验，拉索激励、采集记录数据、去除激振(SBD工况除外)、本工况完成。

图8 传感器布置及测量对象示意图

具体试验工况见表4，在进行组合试验前，先利用SBD工况对图6的模型Kelvin阻尼器做了性能试验；SAC工况用来测得在发生某阶自由振动时拉索自身的阻尼特性；对比SBK工况与SCT工况，可以了解附加TMD后对黏滞阻尼器减振效果的影响情况。

表4 工况汇总

2.2 试验结果

2.2.1 阻尼器单体性能试验及参数的确定

本文给出部分SBD工况Kelvin阻尼器的滞回曲线，图9为模型Kelvin阻尼器振动频率分别为拉索的一阶、二阶振动频率(SAC工况测得)时的滞回曲线。

分别找出SBD工况中相应各工况下位移为零时的阻尼力值与瞬时速度值，建立直角坐标系横坐标设为速度、纵坐标为阻尼力，将全部工况下对应的点在坐标系中标出，对散点进行过原点的直线拟合，得到该激振频率下的Kelvin阻尼器等效阻尼系数，如图10。拟合直线斜率即为某一激振频率下模型Kelvin阻尼器的等效阻尼系数的大小值。SAC工况测得拉索一阶振动频率为2.9 Hz，二阶振动频率为5.8 Hz，通过图10拟合发现，当对模型Kelvin阻尼器进行2.9 Hz激振时，计算出等效阻尼系数等于43.668 N·s/m；5.9 Hz进行激振时，其等效阻尼系数为30.425 N·s/m。

目前，线性黏滞阻尼器理论分析发现其等效阻尼系数为一常数，而大量试验研究结果表明拉索上安装的线性粘滞阻尼器的等效阻尼系数主要取决于拉索的振动频率，对于同一阻尼器当激振频率不同时会计算出不同的等效阻尼系数。所以，在试验中进行等效阻尼系数的具体数值的确定时，要以模型Kelvin阻尼器工作频率范围内所测得的特性为依据。

(a) 激振频率2.9 Hz

(b) 激振频率5.8 Hz

另外，TMD的阻尼参数同样可以通过上述方法确定，TMD的阻尼力由传感器⑨测得，位移时程通过激光位移计⑥测得；TMD自振频率通过改变弹簧长度确定，频率具体数值通过激光位移计⑥测得的时程曲线确定。图11为拉索振动时某一振幅下TMD位移时程曲线与对应的阻尼力大小，通过位移时程曲线可以得到TMD自振频率大小2.9 Hz；图12为某一工况下试验TMD的阻尼器滞回曲线，计算得到阻尼系数为0.034。

图10 模型Kelvin阻尼器等效阻尼系数的计算

图11 TMD质量块振动时程曲线及对应的阻尼力

Fig.11 Vibration time-history curve and corresponding damping force of TMD

图12 TMD滞回曲线

2.2.2 组合系统试验

本文试验，首先通过SBD工况单体性能试验明确模型Kelvin阻尼器力学性能及验证设计的合理性，然后将其安装在拉索上形成组合系统模型，进一步展开了组合系统振动试验的研究。文中给出了部分典型工况下的试验结果，图13为裸索一阶振动试验结果，图14、图16分别为拉索安装Kelvin阻尼器后一阶、二阶振动试验结果，图15、图17分别为拉索安装复合减振装置后一阶、二阶振动试验结果。由于其余各试验工况下测得的位移时程曲线及对应的反应谱曲线与文中给出的相似，不再全部列出。通过测试得到的拉索位移时程曲线容易发现，采集记录的时程数据峰值点可以用一条比较光滑的包络线进行包络；通过对应的反应谱曲线不难发现，拉索除试验控制的主要阶模态振动的能量较大外，在其他各阶模态振动的能量都比较小，这表明试验时拉索所发生的振动是单纯的某阶模态。通过上述判断指标可以判定本文所进行的组合系统试验取得了较为真实的试验结果。

图13 SAC-1工况试验结果

图14 SBK-1工况试验结果

2.3 理论计算结果与试验结果的对比分析

本文从拉索的频率及振动衰减两个方面进行理论与试验结果的对比分析。理论值通过图1建立的理论分析模型计算得到，试验所用的索、阻尼器和TMD的力学参数见表3。

图15 SCT-1工况试验结果

图16 SBK-2工况试验结果

图17 SCT-2工况试验结果

2.3.1 拉索频率的对比分析

表5 模型拉索频率

通过表5对比知，各工况下拉索理论频率与试验频率基本相同，这表明在整个试验过程中，试验组合体系的边界条件和力学特性等与理论分析模型基本一致，其中较小的差异对结果的影响可忽略不计；试验过程中还发现相同阶次的拉索振动在不同次数时测试的频率也不尽相同，但无论是一阶还是二阶振动拉索频率的变化都比较小，最大时仅有0.6%，可见试验模型在试验过程中具有较好的稳定性，较小的差异不影响结果的分析。综上可以认为理论分析模型与试验模型具有一致性，试验过程中的试验模型具有同一性。

2.3.2 拉索振动衰减的对比分析

试验SAC工况通过对拉索自由振动条件下位移时程数据的分析，发现裸索在一阶、二阶振动时对数衰减率都比较小，分别为0.002 3和0.001 8。

表6为模型拉索在分别安装Kelvin阻尼器和复合减振装置后对数衰减率的对比数据，其中理论结果由式(16)计算得到。相比SAC工况无论是SBK工况还是SCT工况拉索对数衰减率数值上都有较为显著的提高，故本试验结果可以不计拉索自身阻尼。

表6 拉索对数衰减率

表6中SBK工况与对应阶次SCT工况对比，无论是理论结果还是试验结果都能看出复合减振方法可以大幅提高减振效果。

3 实索应用示例

为了了解附加TMD后阻尼器的减振作用及其参数绝对数值的大小，本文选取了具有实际工程背景的跨度分别为1 000 m、650 m、400 m级的三座不同跨径斜拉桥的主跨最长拉索为例，见表7。

表7 斜拉索的分析参数

在讨论中，斜拉索减振的设计目标定为使拉索对数衰减率不小于0.04。因为索-梁发生了耦合振动，常规的阻尼器减振效果会被明显的减弱，其所能提供的对数衰减率最低时仅为0.015，为弥补这部分损失，附加TMD对拉索减振的贡献达到0.025，根据式(16)进行参数的计算和优化，表8给出索-梁耦合振动下减振装置的参数设计及减振效果的对比情况。应当指出的是，表8中的TMD参数是理论计算值，在实际工程应用中，可根据设计参数将其离散为多个小型TMD，分别安装有拉索两端，以方便工程应用。

表8 耦合振动下减振装置的参数设计及效果对比

4 结 论

针对大跨度斜拉桥发生索-梁耦合振动的情况，常规拉索减振装置的抑振效果将大幅降低，而无法有效控制拉索振动的情况。本文尝试将黏滞阻尼器与TMD结合起来，利用复合减振方法应对索-梁耦合振动下的拉索振动。理论分析与试验研究结果表明：在索-梁耦合振动发生情况时，结合黏滞阻尼器与TMD的复合减振方法可有效抑制超长拉索的振动。

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