蒙皮裂纹点阵夹芯梁振动特性分析及裂纹识别

陈建恩, 施月奇, 刘 军, 葛为民, 王肖锋(天津理工大学， 天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室， 天津 300384)

点阵材料是一种模拟分子点阵构型制造出的周期性超轻多孔材料,具有高比强度、高比刚度、耐冲击等特点，并且具有高效散热、隔热，吸声效果佳，吸收电磁波等功能。点阵材料具有良好的可设计性，根据不同应用需求，可以对其细观结构进行多功能、多学科协同设计。点阵材料的研究，在航空航天、交通、海洋采油等高科技领域中有着重要的意义[1-2]。点阵材料被国际上公认为最具发展前景的轻质多孔材料[3]，可以在较大程度上对蜂窝、泡沫等传统多孔材料进行替代和补充。

点阵夹芯结构在航空航天领域应用广泛，如飞机机翼、航空器仓板、卫星主体结构等。飞行器在高速飞行中会在气动载荷等作用下进行受迫振动，卫星在位姿调节时亦会发生自由振动，这些振动对飞行器存在不同程度的危害。工程结构经常因振动而产生疲劳裂纹，而且，振动会加速设备原有裂纹的发展直至设备失效甚至产生灾难性的后果。因此，研究含裂纹点阵夹芯结构的振动特性和裂纹识别方法，有助于保障飞行器的安全运行，对于航空航天事业具有重要的意义。目前，对于传统夹芯结构的振动特性已有了深入研究，例如，Kant等[4]基于高阶精化理论，研究了简支边界条件下复合材料夹芯板的固有频率；Alijani等[5-6]通过基于Lagrange方程的多模态能量法，利用高阶剪切变形理论得到了矩形层合夹芯板动力学方程，研究了自由边界条件下夹芯板的非线性振动特性；Zhang等[7]考虑面内双曲应力，分析了蜂窝板的屈曲崩溃；Jaouen等[8]提出了一种基于分层三角函数的简化模型，并用于预测泡沫夹层板的低频振动行为。对于点阵夹芯结构振动特性的研究十分有限，郑华勇等[9]研究了Kagome点阵夹芯板的抗冲击性能；娄佳等[10]研究了复合材料四面体点阵夹芯梁的自由振动特性；Chen等[11]运用折线理论研究了点阵夹芯板的非线性振动特性。

目前，有关含裂纹结构的研究多集中于对裂纹模型的建立与改进，裂纹的载体大多为均质梁、管道以及转动轴，余志刚等[12]采用具有正交特性的勒让德正交多项式作为梁横向位移场的附加高阶形函数,建立了高效而精确的裂纹斜梁动力学辨识模型；胡家顺等[13]根据线性断裂力学理论，推导了非贯穿直裂纹管在轴力、剪力和弯矩联合作用下的局部柔度方程，实例分析了裂纹位置、裂纹程度变化对裂纹管结构自振频率的影响；刘政等[14]基于中性轴法确定裂纹开合，数值计算了呼吸裂纹引起刚度时变的转子过临界转速的瞬态振动，分析裂纹大小、方向角和重力对线性加速转子瞬态振动的影响，以及定功率加速瞬态过程中系统振动响应及稳定性。而针对含裂纹夹芯结构振动特性分析的文章则十分稀少，因此，这一课题具有较大的研究空间。在含裂纹结构的振动特性研究中，一些学者认为裂纹在振动过程中为永久张开的线性模型，然而这些模型却忽略了裂纹闭合的情况，不能体现含裂纹结构振动的非线性特性。Ke等[15]研究了开裂纹参数对功能梯度梁的自由振动以及屈曲特性的影响。为了考虑闭合效应所导致梁在裂纹所在位置的刚度变化，Kisa等[16]用双线性刚度模型研究了悬臂裂纹梁的非线性特性。这种模型认为裂纹只有完全打开和完全闭合两种极端的状态。然而，Rytter[17]的实验结果显示，裂纹从张开到闭合是一个连续变化的过程。Cheng等[18]引入了刚度随时间变化的单自由度模型，研究了悬臂裂纹梁的受迫振动行为，其中梁的时变刚度是用一个简单的周期函数来描述的。

等效单自由度模型广泛应用于含裂纹均质梁的研究之中。本文首先由能量法获得夹芯梁的单自由度模型，然后引入附加柔度公式，用随时间连续变化的周期函数来描述呼吸裂纹，进而推导单蒙皮裂纹点阵夹芯梁的动力学方程。计算当裂纹完全张开时，梁的一阶固有频率并与有限元法获得的一阶固有频率进行对比，以验证等效模型的正确性。通过裂纹夹芯梁的强迫振动响应，分析裂纹参数对点阵夹芯梁振动特性的影响，获得识别裂纹的有效特征。

1 理论计算

1.1 理论假设

图1(a)为点阵夹芯梁芯层的一个单胞，其中rc表示杆件半径，α表示杆件的倾角，l表示杆件长度。图1(b)为一段点阵夹芯梁的示意图，d表示上下板中面的距离，h表示梁的总厚度，hc表示芯层的厚度，hf表示蒙皮的厚度。将芯层等效为连续均匀的材料，其相对密度为

(1)

式中：ρ，ρc分别表示芯层母体材料密度和芯层等效密度；E为芯层材料的弹性模量。给出芯层的等效剪切模量为[19]

(2)

(a) 金字塔点阵芯层的晶胞单元

(b) 点阵夹芯梁示意图

本文基于Allen的经典夹芯梁理论做如下假设：

(1) 点阵夹芯梁在变形过程中厚度不变，即挠度与z轴无关；

(2) 只考虑蒙皮的弯曲变形，忽略蒙皮的剪切变形;

(3) 只考虑芯层的剪切变形，忽略其弯曲变形。

该假设被广泛应用于夹芯结构的研究。由于第一阶模态受裂纹影响较大[20]，故仅研究裂纹对夹芯梁第一阶模态的影响。图2(a)中，蒙皮裂纹位于上面板距离z轴L0的位置，裂纹深度为a，梁长度为L，梁宽为b。夹芯梁的等效模型如图2(b)所示，其中μ和m分别表示系统的等效阻尼和等效质量，在振动中，等效刚度随裂纹位置和深度的变化而变化，且被描述成一个随时间变化的周期函数k(t)。

1.2 裂纹梁的动力学方程

1.2.1 夹芯梁的单自由度模型

运用能量法可建立无裂纹点阵夹芯梁动力学方程。基于Allen假设，利用哈密顿原理获得点阵夹芯梁转角和横向的动力学方程为

(a) 含裂纹简支夹芯梁

(b) 等效单自由度模型

Cφx+Cw0,x=0

(3a)

(3b)

其中

(4)

设各方向上的解为

将式(5)代入式(3)，运用伽辽金法，并求得转角与横向位移的关系，可获得点阵夹芯梁横向振动的动力学方程

(6)

其中

S=2I10+I20，

点阵夹芯梁的受迫振动方程可写为如下形式

(7)

其中m=S，kc=S1。

1.2.2 附加柔度公式

基于单自由度夹芯梁模型，把夹芯梁等效为均质梁，运用局部柔度法，将附加柔度引入夹芯梁模型，从而得到含蒙皮裂纹夹芯梁的动力学模型。对于均质梁，当弯矩作用在裂纹梁上时，由于裂纹的存在，会使梁产生一个附加转角。在裂纹位置处，附加转角和弯矩是成比例的。设UT为由裂纹产生的应变能，由卡氏定理得附加转角

(8)

其中应变能UT由Chondros等[21]给出

(9)

其中b为梁的宽度，JS为应变能密度，故有：

(10)

其中E和ν分别为杨氏模量和泊松比。应力强度因子K与弯矩有关，考虑平面应变的情况，给出下式

(11)

其中弯曲应力σb=6Mb/bh2，裂纹的深度与夹芯梁总厚度比ξ=a/h，FI(ξ)为裂纹深度比ξ的函数，给出如下

FI(ξ)=1.12-1.4ξ+7.33ξ2-13.1ξ3+14ξ4

(12)

将式(10)～式(12)代入式(9)得

(13)

其中

g(ξ)=19.6ξ10-40.755 6ξ9+47.106 3ξ8-33.035 1ξ7+20.294 8ξ6-9.973 6ξ5+4.594 8ξ4-

1.045 33ξ3+0.627 2ξ2

简支裂纹梁因裂纹而产生的柔度变化可由Dimarogonas等[22]提出的公式得到

(14)

1.2.3 含裂纹夹芯梁动力学方程

将夹芯梁等效为均质梁，由式(7)中夹芯梁的等效刚度知，裂纹完全闭合时夹芯梁的柔度为

C=1/kc

(15)

所以有，当裂纹完全张开时，夹芯梁的柔度为

Co=1/ko=C+ΔC

(16)

由此式可以得到裂纹完全打开时夹芯梁的等效刚度ko。

因而当裂纹完全张开和完全闭合时，对应于夹芯梁的一阶固有频率分别为

(17)

在振动的过程中，随着裂纹的开闭，裂纹梁的等效刚度将在kc与ko之间连续变化，因此可以用以下函数来描述单自由度系统刚度随时间的变化[23-24]

k(t)=ko+kΔC[1+cos(ωt)]

(18)

其中，kΔC为等效刚度变化的幅度，由下式给出

(19)

式(18)中的ω为裂纹的呼吸频率，当裂纹完全闭合，即k(t)=kc时，有ωt=2nπ,n=1,2,…；当裂纹完全打开即k(t)=ko时，有ωt=(2n-1)π,n=1,2,…。当梁做自由振动时，呼吸频率可近似为

(20)

考虑系统承受简谐激励F=fsin(ωt)，获得简谐激励作用下简支单自由度含蒙皮呼吸裂纹点阵夹芯梁的动力学方程为

(21)

2 数值验证

本文将夹芯梁等效为均质梁处理，将附加柔度公式引入无缺陷夹芯梁的动力学方程，从而得到含蒙皮开裂纹夹芯梁的等效刚度，然后用正弦函数表示裂纹的呼吸过程，进而得到含呼吸裂纹点阵夹芯梁的动力学方程。因此，为了验证等效模型的正确性，利用有限元仿真软件获得含开裂纹夹芯梁的第一阶固有频率，并与本文中利用开裂纹模型得到的第一阶固有频率进行对比。

2.1 有限元仿真

运用UG软件对含开裂纹点阵夹芯梁进行实体建模，模型如图3(a)所示。然后将模型导入ANSYS workbench中进行有限元仿真，采用四面体网格划分，使用patch conforming算法，单元尺寸控制在裂纹最小尺寸以下，网格划分如图3(b)所示。

2.2 固有频率比较

夹芯梁的蒙皮和芯层的材料均采用铝合金，材料参数及夹芯梁的结构参数为：材料密度ρ=2 770 kg/m3，弹性模量E=71 GPa，泊松比ν=0.33，芯层杆件半径rc=1 mm，杆件倾斜角α=45°，芯层高度hc=14.14 mm，蒙皮厚度hf=1.5 mm，夹芯梁长度方向取25个单胞，宽度方向取2个单胞，单胞的底面边长取28 mm。以当裂纹位置比(β=L0/L)等于0.5时，裂纹深度比(ξ=a/hf)取0.2到0.8，以及当裂纹深度比ξ等于0.6时，裂纹位置比β取0.1到0.5两种情况为例，对比夹芯梁的固有频率。利用式(17)可计算出点阵夹芯梁在裂纹完全张开时的第一阶固有频率。

(a) 含开裂纹金字塔型梁模型图

(b) 含开裂纹金字塔型梁的网格划分

图4给出了用理论方法与有限元仿真获得的含开裂纹金字塔型点阵夹芯梁第一阶固有频率的对比情况。如图所示，含开裂纹点阵夹芯梁固有频率的理论值与有限元仿真所得数值吻合较好，验证了用本文方法推导含蒙皮裂纹夹芯梁动力学模型的正确性。

(a) 裂纹位置比为β=0.5

(b) 裂纹深度比为ξ=0.6

3 裂纹参数对夹芯梁固有频率的影响

如图5所示，将开裂纹夹芯梁、呼吸裂纹夹芯梁的固有频率与无裂纹夹芯梁的固有频率之比看作裂纹深度比(ξ=a/hf)和裂纹位置比(β=L0/L)的函数，可以分析蒙皮裂纹参数对夹芯梁固有频率的影响。

(a) 当裂纹位置比为β=0.5时，裂纹深度比对固有频率的影响

(b) 当裂纹深度比为ξ=0.8时，裂纹位置比对固有频率的影响

图5(a)表示当裂纹位置比β=0.5时，随着裂纹深度比的增加，含有开裂纹和呼吸裂纹夹芯梁固有频率比的变化情况。如图所示，随着裂纹深度的增加，频率比逐渐减小，且减小的速率越来越快。由图还可看出，开裂纹夹芯梁的固有频率比始终低于呼吸裂纹夹芯梁的固有频率比，即开裂纹模型对结构刚度的削弱程度比呼吸裂纹模型大。若夹芯梁的裂纹在实际振动过程中表现出呼吸行为，使用开裂纹模型则会过高估计夹芯梁的损伤程度。图5(b)表示当裂纹深度比ξ=0.8时，随着裂纹位置比的增加，含有开裂纹和呼吸裂纹夹芯梁固有频率比的变化情况。由图看出，对于两端简支的夹芯梁，随着裂纹位置由两端向中间变化，开裂纹模型和呼吸裂纹模型的固有频率比变化情况与图5(a)基本一致。由此可知，裂纹越靠近中间位置，夹芯梁的结构刚度越小。

4 裂纹参数对夹芯梁振动响应的影响

为了得到无量纲的动力学方程，引入下列无量纲参数

(22)

将式(21)无量纲化后可得

(23)

(a) 当裂纹位置比为β=0.5时，裂纹深度比的影响

(b) 当裂纹深度比为ξ=0.8时，裂纹位置比的影响

图6(a)表示当裂纹位置比β=0.5时，随着裂纹深度比的增加，夹芯梁在激振力作用下的频率响应曲线。图中，横坐标表示激励频率，纵坐标表示第一阶模态的响应幅值。如图所示，随着裂纹深度的增加，夹芯梁主共振频率逐渐减小，主共振峰值略微增大。图6(b)表示当裂纹深度比ξ=0.8时，随着裂纹位置比的增加，夹芯梁在激振力作用下的幅频响应曲线。如图所示，随着裂纹位置比的增加，夹芯梁主共振频率逐渐减小，主共振峰值略微增大。在两图中，均出现超谐共振，且超谐共振随着裂纹加深或位置趋于梁中间位置时更加明显。由图6可知，裂纹深度和裂纹位置对两端简支夹芯梁的幅频响应的影响主要体现在超谐共振和主共振频率处，为了进一步了解简谐激励作用下含蒙皮裂纹夹芯梁的振动情况，下面将分析当激励频率分别为超谐共振频率和主共振频率时，夹芯梁在不同裂纹参数下的波形图和相图。由图6可看出，随着裂纹深度比或位置比的增加，主共振峰处的曲线有相交的部分，因此超谐共振频率取为ω=2.1，而主共振频率分别取为ω=4.0,4.2。

(a) 激振频率为ω=4.0

(b) 激振频率为ω=4.2

(c) 激振频率为ω=4.0

(d) 激振频率为ω=4.2

(a) 激振频率为ω=4.0

(b) 激振频率为ω=4.2

(c) 激振频率为ω=4.0

(d) 激振频率为ω=4.2

图7和图8分别表示主共振发生时，夹芯梁在不同裂纹深度和不同裂纹位置下的波形图和相图。由图7(a)和(c)中的波形图和相图可知，随着裂纹深度的增加，夹芯梁的振幅有较明显的增加。值得注意的是，当激励频率ω=4.2，裂纹深度比为ξ=0.8时夹芯梁的振幅要小于裂纹深度比为ξ=0.4时夹芯梁的振幅，如图7(b)和(d)所示，这是由于裂纹深度不同使得主共振频率发生变化的结果。由上述结果可知，激励频率选取的微小差别，会对裂纹参数的识别产生较大影响。因此，不宜用其进行裂纹参数的识别。图8中，夹芯梁随着裂纹位置比增加而表现出的波形图和相图与图7中的情况类似。且有，单蒙皮裂纹夹芯梁在不同裂纹参数下的主共振均为单倍周期振动，振动的波形变化较小，相图曲线呈较规则的环形。

图9和图10分别表示发生超谐共振时，夹芯梁在不同裂纹深度和不同裂纹位置下的波形图和相图。如图9(a)所示，随着裂纹深度增加，夹芯梁波形的负向波峰变大，而正向波峰减小。图9(b)中，随着裂纹深度的增加，相图曲线变化较大，位移正向的图形变尖，值变小。与图7中的相图相比，该相图随裂纹深度的变化更为明显，即超谐共振的相图对裂纹深度的变化更为敏感，可以利用其相图的几何特征进行裂纹识别。图10为夹芯梁在不同裂纹位置下的波形图和相图，其表现出的特点与图9中的情况类似，在此不再赘述。

5 结 论

本文在研究含蒙皮裂纹金字塔型点阵夹芯梁振动特性的基础上，利用超谐共振响应的相图几何特征进行裂纹识别。将单自由度夹芯梁等效为均质梁，引入附加柔度公式，获得含开裂纹夹芯梁的动力学方程。

(a)

(b)

Fig.9 The displacement responses and phase portraits of a cracked sandwich beam against the crack depth ratio when the crack location ratio isβ=0.5 and the excited frequency isω=2.1

(a)

(b)

Fig.10 The displacement responses and phase portraits of a cracked sandwich beam against the crack location ratio when the crack depth ratio isξ=0.8 and the excited frequency isω=2.1

对于含开裂纹夹芯梁的固有频率，理论计算结果和有限元仿真结果吻合较好，验证了动力学模型的正确性。进而，获得了含呼吸裂纹夹芯梁的动力学方程，分析了呼吸裂纹夹芯梁固有频率随裂纹参数的变化情况。研究结果显示，对于两端简支、含单个蒙皮裂纹的夹芯梁，随着裂纹深度的增加，或裂纹位置由一端向中心移动，梁的固有频率逐渐减小，且减小的速率逐渐加快。在简谐激励作用下，随着裂纹参数的变化，夹芯梁发生超谐共振且峰值逐渐增大。此外，由不同裂纹参数下夹芯梁强迫振动的波形图和相图可知，当超谐共振发生时，由于相图对于裂纹参数的变化较为敏感，故可以利用相图的几何特征进行裂纹参数识别。

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