基于建构，提升认知策略——以“点到直线的距离”为例

李慧敏，夏雪兰

(无锡卫生高等职业技术学校，江苏 无锡 214000)

0 引言

让学生主动参与数学公式推理的建构过程，培养学生的认知策略，是数学教育所要实现的重要教学目标之一。作者在执教“点到直线距离”课程时，进行了以下的探索与思考。

从认知基础看，学生对点、线的几何和代数表示以及两点间距离公式都很熟悉，虽然本课中的公式推导运算繁琐，但公式推广应用比较简单，所以如何调动学生积极探索公式的形成则成为教学的一个难点。

从本节课内容来看，点到直线的距离公式是研究点与线、线与线，以及线与圆位置关系的桥梁，在本章起到承上启下的作用，因此学好本节内容，对后面的学习将起到事半功倍的效果。

从课型种类看，本课是命题课，对以后教学中的命题课公式推导具有一定的借鉴和指导意义。如：本课通过一个实际问题为起点，启发学生找到解决问题的关键：

要求PQ的长，需求Q的坐标→要求Q的坐标，

需求PQ的方程→要求PQ的方程，

须知PQ的斜率→要求PQ的斜率，

须知直线l的斜率。

这些解决问题的思维活动带有元认知的特点，具有普适性，是教学的一个重点。

1 教学过程

1.1 温故知新

师：请同学们回忆一下两点间的距离公式，如何判断两直线的位置关系？

设计意图：这些内容对本节课的学习起到先行组织者的作用，帮助学生找到知识生长点，有利于学生在此基础上构建新知识，体验数学知识生长演变历程。

1.2 新知探究

师生活动：做一个设计师。

问题1： 在一条高速公路附近有一家大型超市,为了使超市到高速公路的运输费用最低,要铺一条连接超市和高速公路的道路。请同学们设计一下，怎样铺路可以使运输的费用最低?

生1：这实际上是一个求点到线的最短距离问题，距离最短，费用最短。作垂线段，并求之。

师：我们把这个实际问题抽象为一个数学问题。如：求点P到直线Ax+By+C=0(其中A、B不全为0)最短距离，(考虑A、B全不为0的情形)。

生1：先确定垂足的位置，然后再求两点的距离即可。

师：如何求垂足？

生1：可建立直角坐标系，垂足即为直线与垂线的交点。

师：如何求垂线方程？

生1：利用斜率存在时，两垂线斜率乘积等于-1，即可求出垂线方程，进而求出两直线交点坐标。

师：嗯，非常好，只是求点Q坐标计算量有点大，还有没有其他方法？

生2：设直线倾斜角为α，可以过P点做Y轴平行线交直线于点M，垂线段的长度为PMcosα。

生3：过P点分别作X轴、Y轴垂线，交直线于点M、N，利用三角形等积法求解。

生4：可在直线上任取一点Q，求PQ两点的最短距离(函数最值)。

设计意图：教师引导学生积极思考，学生以独立或合作探讨的形式找寻问题解决的方法和途径。教育的目的是让学生更好地思考，而教学是“使学生参与到那些促进学习的事件和活动中去，经历对数学自我建构的过程,最大限度地发挥学生主观能动性，真正将课堂还给学生，让学生真正做学习的主人。[1]

问题2：若直线方程中A=0，或B=0，如何求点到线的距离，用什么方法比较简便？

设计意图：从多个角度全面考虑点到直线的距离，渗透数形结合思想、方法，让学生体会以形促数，以数助形的微妙之处。引导学生在现实生活中辩证地看问题，实事求是，特殊情况可以特殊对待。

1.3 深化理解公式

师生活动：教师引导并具体指出公式特点：

公式的分子：保留直线方程一般式的结构，体现了公式与直线方程的关系。

公式的分母：直线方程中两个未知数的系数的平方和再开方。

设计意图：通过对结构的分析，使学生认识到公式结构与点坐标以及直线方程之间的关系，帮助学生形成认知结构，发展元认知。[2]

1.4 知识的应用

例1：回顾开头的例子，现在我们来解决引例中的问题。

如建立坐标系，假设超市所在点P坐标为(2,3)，公路所在直线l：3x+4y+2=0,求点P到直线的距离。

设计意图：巩固加深对点到线距离公式的认识，更要让学生认识到数学来源于生活也运用于生活，真切地体会到数学就在我们身边。

学生活动：求下列点到相应直线的距离：

(1)P(1,2),l: 3x-2y+4=0

(2)P(3,-3),l:x+1=0

设计意图：进一步巩固加深对点到线距离公式的认识。

例2：求l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y+5=0距离

生1：可以在l1上任取一点，求该点到l2的距离。

生2：可以在l2上任取一点，求该点到l1的距离。

适当的变式，可以帮助学生深化对公式的理解。

拓展题：已知A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0),求△ABC的面积。

设计意图：意在巩固两点间距离和点到线的距离公式，帮助学生构建稳固的知识网络。

1.5 巩固与检测

已知三角形的三个顶点的坐标分别是A(0,4)，B(-3,0), C(1,5)：

(1)求AB边上的高所在直线的方程；

(2)求AB边上的高和边AB的长度；

(3)求三角形的面积。

设计意图：巩固所学，查缺补漏，观察学生学习效果。

1.6 回顾与总结

问题4：本节课我们学习了什么知识？如何推导一个公式？研究中应用了哪些数学思想、方法？接下来研究什么呢？

设计意图：明确总结的脉络，帮助学生梳理所学知识，为判断直线与圆位置关系作铺垫。

1.7 作业布置

班级群作业发布平台。

2 一些思考

2.1 设计“好”问题，让命题教学从“快讲多练”变成“参与建构”

问题是数学活动的载体，通过问题才能把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地结合起来，使知识的逻辑结构转化为学生的探究，发现数学的内在规律，认识理解数学本质，并在活动过程中构建数学。[3]

本课设计的问题1，从求运输费用最低值入手，问题处于学生的最近发展区，激发学生利用已有的数学知识建模解决的欲望。

让学生认识到数学来源于生活，也应用于生活，鼓励大家积极思考，采取多种方法解决问题，并能在几种方法中选出最优解，在探讨交流的过程中慢慢渗透数学思想方法，提升学生数学素养。

2.2 加强知识的联系，让公式理解从“孤立存在”变成“有意义的存在”

现代认知心理学认为，学生只有意识到自己已有命题(知识)失去了效用，无法或不能解决当前所面临的问题或困难时，才会产生学习或接受新命题的积极心向。新命题对自己有价值，即学生能够看到新命题对解决自己当前所面临的问题或困难有帮助，而这是原有命题(知识)所不能解决的，这意味着学生把新命题看成是解释、解决当前问题或困难的更好的途径。[4]

3 结语

问题是思维的起点，在教学的过程中，并非问题越多越好，进行问题设计时，教师在课前一定要深思熟虑，要让学生有种努力跳一跳可以摘取知识果实的自信。所以，数学课堂不仅仅是让学生掌握数学知识，更重要的是启迪思维，让学生参与数学知识承载的思维活动，让学生走出课堂，能用数学的眼光看待世界，用数学的思维分析世界，用数学语言表达世界。

[1]R.M.加涅著.王小明，等译.教学设计原理(第五版)[M].上海：华东师范大学出版社，2007.

[2]龙毅.利用元认知理论发展学生思维能力[J].数学教育学报，1996，(5).

[3]李善良.关于数学问题设计——高中数学教学设计案例分析之二[J].高中数学教与学，2008，(1).

[4]周友士.基于认知建构理论的数学命题学习研究[J].数学教育学报,2008，(10).