向量在立体几何解题中的妙用

李小春

一、利用向量解决线面平行问题

空间立体几何中的平行问题包括两条直线平行、直线与平面平行、两个平面平行。遇到运用向量的方法证明线与面的平行的问题，学生可以把问题变成直线的方向向量与平面的法向量之间的代数运算问题。

例1.在图1中，两个正方形ABCD与ADEF相互垂直，且公用AD边，M、N两点分别是正方形对角线AC和FD上的点，并且AM=FN。证明：MN∥平面DCE。

解析：建立如图1的空间直角坐标系，假设=λ，∵AM=FN，∴=λ，∵=++=-λ++λ=-λ-λ++λ-λ=-λ+（1-λ），∴MN∥平面DCE。

点评：在遇到证明线面平行这类题目时，如果是证明线与线平行，学生需要判断两条线的方向向量共线；如果是证明线与面平行，学生需要出计算线的方向向量和平面的法向量的点积为0；如果是证明面与面平行，学生需要证明两个平面的法向量共线。

二、利用向量解决线面垂直问题

例2.在如图2所示的正方体中，E、F两点分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中的BB1、CD两条边的中点。证明：平面AED⊥平面A1FD1

解析：要证明图中的两个平面垂直，可建立如图2所示的空间直角坐标系，并假设正方体的边长是2，这样就可以求出如下点的空间坐标A（0，0，0）、D（0，2，0）、

A1（0，0，2）、D1（0，0，0）、E（2，0，1）、

F（1，2，0）。

=（0，2，0），=（1，0，-2），∵.=0，AD⊥D1F，=（2，0，1），||=，

||=，假设AE和D1F夹角是θ，cosθ===0，∴θ=90°，即AE⊥D1F。∵AD⊥D1F，AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，∵D1F包含在平面A1FD1中，∴平面AED⊥平面A1FD1。

点评：当证明线与线垂直时，学生要计算两条直线的方向向量的内积为0；当证明线与面垂直时，学生需要判断线段的方向向量与平面的法向量平行；当证明面与面垂直時，学生需要判断两个平面的法向量是平行的。

三、利用向量解决二面角的问题

例3.在图3中，直三棱柱ABC-A1B1C1中的AC=BC=AA1，DC1⊥BD，D是AA1棱的中点。（1）证明：BC⊥DC1（2）求二面角A1-BD-C1的大小。

解析：（1）∵D是AA1棱中点，DC1=DC，AC=AA1，DC12+DC2=CC12，∴DC1⊥DC，∵ BD⊥DC1，DC∩BD=D，∴DC1⊥DBC平面， BC包含在平面DBC中，∴BC⊥DC1。

（2）∵CD⊥DC1，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1，∴CB、CC1、CA三线两两互相垂直，∴可以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，假设AC=BC=1，则A1（1，0，2），C1（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），=（0，0，-1），=（1，-1，1），=（-1，0，1），设A1B1BD平面的法向量是=（x，y，y），.=0，.=0，∴，取=（1，1，0）。同理可假设C1BD平面的法向量是，可得.=0，.=0， 取=（1，2，1）。∴cos<.>==。

∴二面角A1-BD-C1的大小是30°。

点评：求立体几何中二面角的大小有两种方法：几何方法与向量方法。但从所给条件看，运用向量方法求解比较容易。在求解空间角的问题时，学生要根据题目所给的已知条件来选择简单的解题方法。

（作者单位：江西省广丰贞白中学）