避典型错误，方能更易取胜——以解三角形中错误资源的利用为例

◎程 莹

(浙江省丽水市庆元县庆元中学，浙江 丽水 323800)

解三角形是高中数学中很基础却又很重要的知识，主要考查正弦定理和余弦定理的正确使用，属于历年考试必考的题目，但从考试结果来看，这部分得分不理想.根据“错误”是一种可再生教学资源的教学理念，首先，教师正视学生的错误，引导学生发现错误，发现错误之时，就是开始降低出错率的最佳时机；其次，要引导学生主动去纠正错误，找出错误的根源；再次，培养学生及时反思，对错误分类整理，落实纠错并进行针对练习的好习惯.笔者在解三角形知识点的复习教学中，搜集整理了学生在下述三方面的典型错误，引导学生经历发现错误——纠正错误——评析错误——发展思维的过程，学生方面反馈效果很好.

一、三角函数的知识不扎实

例1(2016·浙江卷理)在△ABC中，角A，B，C对的边记为a，b，c，已知b+c=2acosB.

(1)证明：A=2B；

错解(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB，

故sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

移项运算，得sinB=sin(A-B)，

所以B=A-B，得证A=2B.

师：上述解法中错误不止一处，试一试，你能找出几处？

生：在(1)中，由sinB=sin(A-B)，角A，B∈(0，π)，故0

评析本题很值得作为典例，是学生经常出错的类型.根源在于由三角函数值相等不能准确判断两角之间的关系.解三角形需要三角函数作为基础知识，需要多练习.

二、数学思想欠缺

例2在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，b·cosC=(2a-c)·cosB.

(Ⅱ)已知边b=1，求a+c的范围.

评析解法1中，首先未考虑到基本不等式的缺点，即只能计算最大值或者最小值，那么该解法如何修正能得到正确范围呢？

评析解法2中，使用函数思想解题是该解法的优点，但是角A的范围错误，如何修正该解法，从而得到正确结果呢？(学生分组讨论、交流)

生：锐角三角形应该保证每一个角为锐角.

小结上述两种解法，经过纠错环节，都成为正确的解法，但是方法2的函数思想更优越，符合求范围题型的内在要求.若本题仅要求解最大值，或者三角形未限定为锐角三角形，则可以采用基本不等式.此外，本道题中锐角三角形是关键信息，审题时要重点标记.

三、定式思维，运算不细心

例3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

评析本道题有2个小问，虽然结果都是正确的，但是思维有很大漏洞.

对于(1)在三角形中，sinA≠0是肯定的，所以可以认为正确.

但在(2)中，cosA=0是可以出现的，故需要分类讨论.

评析本题是反定式思维的一个典例，主要考查sinA和cosA在化简中的不同作用.从做过很多题目来看，95%情况是约掉一个角的正弦值，于是，学生形成定式思维，对cosA≠0也当作默认的，直接约掉导致出现隐形错误，这种失分很值得关注.

四、反 思

收集典型错误，建立错题集是解决学生反复犯同一种错误的最好方法.但对教师来说，也应该是一种好方法，有助于课堂的针对性，提高课堂效率，集中学生注意力，让学生经历从错误中走出来的亲身体验，对于后续降低解三角形这类题目的出错率有利无弊.