是“雪中送炭”，还是“锦上添花”？——在数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”

◎丁海茵

(佛山市三水区实验中学，广东 佛山 528000)

我们知道，数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想.数学是关于模式的科学，这反映了在数学解题时，需要进行“模式识别”，需要构建标准的模型.往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法.数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂问题简单化.数学解题就是一系列连续的化归与转化，将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，其消元、减少参变元的个数是常用的方法.在代数式的变形中，则往往要分离出非负的量，配方技术是经常使用且很奏效的方法.

一、高考数学题讲究的是通性通法，全面加强该方面的训练

目前的高考是确实通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如，中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接.在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层皮之后才能看到.鉴于这种情况，针对不同层次的学生，对通性通法可以做这样不同层次的追求，比如，高考数学分数期望值在一百到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在同等题里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失.如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的.在难题里运用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透问题不太大.如果你期望值是一百二十分以上，甚至达到一百四十几分，相信你在选择填空和中等题方面是有基础和把握的，你们攻克的要点就是通性通法在综合题中间怎么使用，怎么穿破这个迷魂阵，能够剥出里面的内涵，把通性通法用上，这是大家要攻克的，当然攻破这个堡垒比前一个要困难一些.

二、数学课堂中的教学实况

案例1 观察下面的一个课堂实录.

一位教师在课堂上讲解一道例题：已知tanα=-3，求下列式子的值：

教师详细教给学生下面的解法(弦化切)：

(2)sin2α-3sinαcosα+2

但实际上还有下面的解法(代入法)教师并没有教给学生：

(2)sin2α-3sinαcosα+2

两种方法都是正确的方法，也难分孰优孰劣，在熟练掌握了弦化切方法之后，“弦化切”应该更简洁一些.但是，笔者发现一些教师重“弦化切”法而轻“代入法”，甚至只教“弦化切”法而不教“代入法”，认为碰到这类题目用“弦化切”就足以解决问题了.这至少有下面的三个弊端：

(1)为了使学生熟练地掌握“弦化切”这种方法，我们必须引导学生分析归纳适用“弦化切”题型的特征(齐次)，这必然要花去学生的一些时间和精力(是一种负担)，如果掌握得好，是值得的；如果掌握得不好，就会陷入解题困境.

(3)“代入法”是初高等数学中最通用的解题方法之一，也是最普遍的一种数学思维模式，学生从初中开始就被要求熟练掌握，易题难题的求解或求证都离不开“代入法”.解题上只求巧解，会使学生误以为一种题型就只能用一种解法，误以为“记住三百种题型的三百种解法，就可以在考试中获得高分了”，引导学生进入枯燥无味的题海战术，久而久之，思维方式越来越单一，思路越来越窄，最终陷入思维的困境.

三、合理使用数学中“通法”与“巧法”

“通法”，顾名思义就是通用方法.在初高等数学中，通法的含义是指一类问题的普通(通俗、一般)的解法，例如，代入法、消元法、换元法、配方法、三角法、割补法、坐标法、

数学归纳法、待定系数法、反证法、数形结合法、构造法等.在各种题型中，这些方法通常交叉、互补地使用.解题通法可以说是数学思想的更具体的体现，更加能反映数学的本质；而巧法是指在可以忽略对数学定义概念透彻理解、可以忽略通法、可以忽略思维方式的情况下，使用最简单快捷的方法获取答案.

四、回归通性通法，冲刺提高

(一)熟谙主干知识

概念、性质、法则、公式、定理、公理是数学的最基础的知识，熟悉它们是应考的首要环节.数学的主干内容是：函数、不等式、数列、向量、概率与统计、立体几何和圆锥曲线等.对每一块主干内容，要熟悉其知识结构、主要数学思想方法、主要题型及容易产生的解题方法的误区.

(二)关注知识交汇

在知识网络的交汇处设计试题是近几年高考的一大亮点.二次函数、二次方程和二次不等式相濡以沫；三次函数粉墨登场；三角函数与平面向量牵手；几何与代数不期而遇；数列与不等式狭路相逢；立体几何与向量的姻缘；函数、导数、不等式和数列的群英荟萃，都是知识交汇的经典之作.

利用导数，可以求极值、最值，判断单调性，导数使得对函数性质的研究别开生面，不再像雨像云又像雾了.

(三)追求高效训练

在最后的阶段(临考前一两天也需稍做一些题)每天下午三点开始，数学基础一般的学生做一些选择题、填空题和前三道解答题；数学基础较好的学生做一些选择题、填空题和一些相对薄弱的解答题.所做的题目，可以是没有做过的以往高考题或最新的浙江省各地、市的模拟题.要进行有针对性的训练，并从提炼数学思想方法的认识高度出发，达到举一反三，解一题通一片的目的，以不变应万变.

(四)注重通性通法

做选择、填空题要学会巧解，掌握用特殊方法解决这两种题型，而且力求有较快的速度和较高的准确率.解决解答题时必先认真审题，审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源；然后制订解题策略，应该多从常规方法入手，盲目追求技巧是不可取的，尽量少一些模仿，多一些思考.

(五)回归教材

许多高考题来源于教材或从教材中的习题改编而来，这种考题对所有考生是最公平的.特别是教材复习题的设计新颖优美，难度接近高考，很有拓展、开发和挖掘的余地和空间.建议考生针对自己的薄弱环节有选择地做相应章节的复习参考题.

五、总 结

根据上述状况来看，专业人员应该对通法进行掌控.通法，着眼基础；巧法，着眼提高.对学生来说前者是“雪中送炭”，后者是“锦上添花”.以上是笔者对数学通法与巧法粗浅的认识和理解，也许其中有一些观点还需不断深入研究和扩展，可能也有一些观点是不当的，希望各位同行能提出宝贵的意见.最后希望广大数学教师在课堂上能强调通法的地位和作用，不断总结教学经验，丰富和完善高中数学通法.

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