分式函数类型及解法探究*

袁海军

厦门大学附属实验中学 (363123)

本文通过画出这两种类型函数的示意图和例题讲解形式，进一步学习分式函数的性质，从而引导学生对分式函数的深层次理解和掌握.

图1

点评：本题采用了分离常数法，利用函数图像性质来处理问题简单明了，考查了分式函数的对称中心、单调性及图像象限分布.

点评：注意观察函数式结构，进行简化变形，转化到熟悉昜懂的分式函数，注意变量的取值范围.

点评：本题若直接用单调性定义法或导数法去求解，计算量很大，容易出错，通过观察其结构，其实质就是分式函数，结合奇函数性质，轻松准确地得出答案..

例4 若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是 .

点评：本题通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下来釆用两种方法计算出答案，明显看出利用分离常数法更为简单，这更加体现分式函数在解题中的实效性.

二、倒数结构型

图2

(1)a>0且b<0时，示意图如2：

此时f(x)为奇函数，分段递增，当x>0(或x<0)时，y∈R；

(2)a>0,b>0时，示意图如3：

图3

可看成以直线y=ax与y轴为渐近线的双曲线，两个顶点A、B可由不等式中的均值定理确定，此时f(x)的单调性、奇偶性、定义域与值域、对称性可从图中看出结论.

注意：当a<0,b>0时或a<0,b<0时，可转化为上述两种.

点评：复合函数的性质是高考考查的基本内容，通过分解转化为基本函数的性质，大大降低问题的难度，要熟练掌握两种函数之间的相互转化.

(1)将y=f(x)的图像向右平移2个单位，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的解析式；

(2)若函数y=h(x)与函数y=g(x)的图像关于直线y=1对称，求y=h(x)的解析式；

点评：本题前两小题主要考查如何根据题设的图像关系，建立函数关系式，去解决问题.

第(3)小题是关于函数最值，函数的单调性，指数和分式函数及基本不等式的综合应用，还重点考查了学生分类讨论的应用能力.