寓美于教，构建高中数学“生本课堂”

兰淋海

福建省古田县玉田中学 (352200)

在教学实践中发现，学生对于美的事物总是比较容易接受的.数学和所有美的事物都存在着一定的联系，数学蕴含的美能够带给人们一种美的享受，能够全面培养人们的思辨能力以及理性思维.数学不但是一种趣味的推理演算，而且数学还有着严密的辩证性和逻辑性、高度的抽象性以及广泛的应用性等.从审美角度上看，数学中充满着大量的美，教学中运用恰当将收到事半功倍的教学效果.因此，每位数学教师都要将数学美展示给学生，以期达到数学学习目标.

一、数学美在高中数学教学中的地位和作用

数学中蕴含着丰富的美.图形的优美，计算公式的简洁美就能直接给人以美的享受.数学方法的灵巧(简洁、类比、归纳、灵活等)、数学思想的精炼与抽象、逻辑思维的严谨及数学与其它学科的多种联系，等等，都无不呈现数学美的魅力！在高中数学教学中合理地挖掘和利用数学美的内容，符合新课标下“生本课堂”的要求，对于当前高中数学的教学改革将起到推动的作用.在新课标下，把数学美的欣赏同学生学习的态度情感、信心的培养有效结合起来，必然会对当前的高中数学教学起到“润滑”的效果.总的来说，数学美在高中数学教学中占据着重要的地位，是一种全新的教学理念.

数学美在高中数学教学中具有重要的作用和意义，单就下面几点可见一斑.

1.揭示数学美是学习高中数学的一种动力.

爱美之心人皆有之，学生对美的事物总是比较感兴趣的.“培养学生的学习兴趣是长期以来许多教育工作者普遍关注的一个话题.兴趣是一种不竭的动力，它能激发人全身心地投入到一件事物当中而乐此不疲”.高中数学的内容是小学初中无可对比的，其广度与深度的提升是质的飞跃.为了适应高中的学习需要，教师引导高中学生通过对于数学美的认识，领悟到数学美的真谛，激发起对于美的追求和欣赏，培养其学习数学知识的积极的情感行为，将学习转化成为一种主动的行为，有利于激发学生努力学好高中数学.

2.数学美在高中数学教学中具有文化功能，体现在数学的精神观.

数学美的文化功能是数学历史发展中积淀下来的，具有继承性和传递性，是一种经验感受的累积.在高中数学教育中，引导高中生们感受数学美，能够产生一种特殊的经验，积累起良好的数学解题经验，有助于推动对于数学知识的良好掌握.

3.“以美启真”是数学美方法功能的核心.

运用美的思维启发人们探索数学真理，运用美的方式去找寻数学规律、解答数学问题.高中生们通过对数学美的感悟，形成固定的数学思维方法，是当前高中数学教学的重要目标.

4.在新课标中，明确指出要在教学中构建起生本课堂，营造出美好的人文课堂环境.

在中学数学教学中，引入数学美恰恰是生本课堂的具体体现，有助于启迪他们的智慧，开发出潜在的能动性和创造力，对于课堂教学有着非常重要的意义.学生通过追求数学美，发挥几何想象能力，开创思维方向，增强创新能力；学生敢于打破思维定势，另辟蹊径，找到最佳解题方案.

二、“生本课堂”下的数学美

生本课堂要求“以学生的发展为本”，全面构建起和谐、美好的人文课堂.作为数学教师，要善于发掘数学中的美，加强数学的理性与感性的融合，积极地培养学生对于数学的审美意识，引导学生主动体会数学的美，从而提高学生数学学习的兴趣.

1.数学内容和谐美

早在两千多年前，毕达哥拉斯就提出了这样的观点：美是和谐与比例，这恰恰符合了数学当中的一些规律.在数学内容庞大的知识体系内部，数学的和谐美始终贯穿其中，具体体现在各个定理和定义以及数、式、形之间，多个知识块之间既自成体系、互相独立，又由于一定的逻辑关系而互相派生、互相贯通，具体体现为高度的和谐统一.以元素与集合的关系为例：x∈A⟺x∉UA，x∈UA⟺x∉A，∅⟺A≠∅.这些公式之间不但体现出知识的结构美，更加蕴含着高度的和谐统一美，引导学生们发觉数学中的和谐美，能够更好地帮助他们接受公式，帮助他们更好地记忆.

2.数学内容结构美

不同的数学问题之间往往存在着某种关联，它们是能够实现沟通及化归的.在日常解答一些数学问题中，采用单一的常规方法往往难以有效解决，然而，充分地运用各种方法就能够使得问题的条件以及结论在新的协调形式下实现互相沟通，将复杂问题简单化，进而快速地解决问题.以下面这个数学题目为例.

已知函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1)；②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则方程f(x)=lgx解的个数是( ).

A.5B.7C.9D.10.

解析：由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)=lgx，则x∈(0，10]，画出两函数图像如图1，则交点个数即为解的个数.由图像可知共9个交点.故选C.

图1

解题过程中遇到复杂函数(如指数、对数、根式、三角)讨论方程解的个数，其基本解题途径是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式，然后在同一坐标系中作出两个函数的图像，图像的交点个数即为方程解的个数.

上面这个例题是依照题目自身所呈现出的结构美而产生出解题思路，运用线段图，结合相关的数学知识，让高中生们欣赏到了问题的形式美，也由此产生出的数学美感激发起新的解题思路即常用的数形结合方法；运用不同的方法解答数学难题，开发出一种创造性的思维.

3.数学思维活力美

生本课堂教学的目标就是培养并拓展高中生的思维能力，提升数学素质.解答数学问题的过程中，就是将丰富的数学知识应用到现实世界中，培养起高中生们的探究能力，猜测及试验解题思路的过程，高中生的数学思维能力能够得到全面的发展.所以一个数学问题能够成功地得到解决，需要运用数学思维，对问题实施解剖和分析，对丰富的数学知识进行总结归纳，由普遍性推向特殊性，或由特殊到一般，对于多种数学信息实施筛选、加工及构造，最后将知识连接起来，运用独特的方法，构建起富有活力及生机的全新方法体系，是一种充满活力的创造性思维过程，真正体现数学思维的活力美.例如，笔者在人教A版《数学必修3》的循环结构程序框图教学中，引导学生设计1+2+…+100的程序框图后，提出了以下变式：12+22+32+…+1002；2+4+6+…+200；1×2×3×…×100；④1+2+3+…+n.让学生学会开动脑筋，由个案的循环结构的设计推广到一类的设计，需要学生对循环体、变量的初始值以及控制循环条件作缜密的思考，最后到一般性的设计(n的未确定)需在终端框后增加输入n的输入框，学生的思维活跃了起来，对于布置的类似的循环结构的程序框图：(n>2且n∈N),1×3×5×…×99等，学生跃跃欲试进行尝试完成作业，思维火花迸发出光芒.

三、构建“生本课堂”，在高中数学教学中渗透数学美

“生本课堂”是新课标下对于教育提出的更高要求，是对全新教学理念的一种贯彻.在当前的高中数学教学中，要全面构建起人文和谐的课堂环境，不断渗透数学美的理念，帮助高中生们感受到数学美的同时更好地掌握到丰富的数学知识.

1.展示凸显外在美

在高中数学当中，外在美具体表现在一些数学概念、公式以及几何图形的简单性、统一性、对称性上，具有令人悦目的美.结合当前的教材及情境，积极发掘图形的变换、图形的性质，发现数学中的外在美.此外，生活当中的一些实物也体现出了数学外在美，如圆柱形笔筒，长方体纸盒，精致艺术品，宏伟建筑等等，都是数学中的一些几何图形和立方体.这些都是展开数学美教育的最好素材.

2.挖掘数学内在美

数学自身存在着内在美，具体表现为完备的体系、严谨的逻辑、奇异的思维、巧妙的解题方法、精髓的思想.数学的内在美令人赏心悦目.

在高中数学教育中，应当主动引导高中生感悟数学思想方法，领略数学方法和数学命题的美学价值；在具体的解题过程中，从多个角度找寻解答难题的方法，让高中生们感受到数学方法的优美、灵活和精巧，充分地向他们展示出数学的内在美.

3.打造出美的教学情境

生本课堂最根本的要求就是打造出美的教学情境，让学生们能够在一个轻松的环境中自由地学习.美的教学情境包含物质环境和心理环境.物质环境比如整洁的教室环境，它们有助于高中生保持良好的心态，进入到数学学习状态并美化心灵；心理环境比如师生间、同学间的和谐关系，有助于构建起一个美的“数学学习共同体”.

此外，还可以安排一些很好的数学游戏，从游戏中体会到数学的思维方式，感悟到数学的美，学习到更多的数学知识.

4.解题中体会数学美

数学题包含着丰富的数学知识，体现出数学解题的思维方式，展现出了数学中蕴含的美.通过多种形式的数学解题，让学生从中领悟到：数学结构和谐美和统一美，进而培养起高中生对于数学的鉴赏能力以及崇高的审美情操.

在解题中，充分地利用图形，找到突破口.

图2

例如，如图2，在等腰直角△ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD的延长线交AB于E.求证:∠AME=∠CMB.

证法一:过点A作AF⊥AC，交CE的延长线于F，如图所示.

∵在ΔBCM中，∠BCM=90°，CD⊥BM，∴∠1=∠2=90°-∠ACD.在ΔBCM与ΔCAF中，∵∠1=∠2，BC=CA，∠BCM=∠CAF=90°，∴ΔBCM≅ΔCAF(ASA)，∴MC=FA，∠CMB=∠F.∵MC=MA，∴MA=FA.∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°,且∠CAF=90°,∴∠MAE=∠FAE=45°.又AE=AE，∴ΔAEM≅ΔAEF(SAS)，∴∠AME=∠F，∴∠AME=∠CMB.

点评：证明中充分地利用图形的特征，巧妙地构造全等三角形，利用全等三角形的对应边、对应角分别相等的性质，完美地通过角的等量代换得到结论.体现了图形的美的变换，学生无不为之拍案叫好！

证法二：如图3，设∠AME=α，∠CMB=β，则∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=180°-(∠ACE+∠A)=45°+β.在△AEM和△ACE中，由正弦定理，得AE∶sinα=AM∶sin(135°-α)①,AE∶sin(90°-β)=AC∶sin(45°+β)②,

图3

点评：证明中利用图形的特殊角和边的数量关系，在包含待证相等角的两个三角形中分别应用正弦定理，转化为只含这两个角的正弦的关系式，再通过化简式子得到这两角的正切关系式，而其中一个角的正切值是可以直接计算出的，这样就会算出另一个角的正切值，从而发现它们相等，再由正切值相等及角的取值范围，充分得证结论.由此感受到应用数学公式和掌握好三角函数的运算带来的直截了当的美好的数学解题思路，学生心中美滋滋的.

图4

证法三：以直角顶点C为原点，两条直角边CA、CB所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，如图4所示.设直角边长为2a(a>0)，则C(0,0)，A(2a，0)，M(a，0)，B(0，2a).

由以上各点坐标，得下列向量的坐标：

点评：证明中通过建立直角坐标系，设出直角边长，则A、B、C、M四点的坐标都可由已知给出，只要求出点E的坐标就可以利用向量求出待证相等的角的余弦值，从而发现它们的余弦值相等，故得证.其中建立两直线CD与AB的方程是求点E的坐标的首要任务.显然，学生已具备求直线方程及解方程组的能力及运用向量工具的本领，证法中反映了数学综合性的内在美，学生从中也获得了思维的拓展满足感.

通过这一不同方法的证题过程中，充分地将数学的多种解法展现给学生，让他们感悟到数学思维的角度美、解题方法的多样美、数学公式的潜在美和数形结合的和谐美等.这样必然会激发起学生学习数学的兴趣.通过数学美的教学，全面构建起生本课堂，促进学生全面发展.

高中数学“课标”明确指出数学课程应适当反映数学的美学价值.数学是一门蕴含了丰富美学的学科，几乎覆盖了所有的美学知识，数学中的美形式多样，如图形和曲线的对称美、数学内容和谐美、数学思维的活力美、解题途径简洁美等等，都令人赏心悦目.在高中数学中注重数学美的教学，有利于培养学生们对美的感知，树立起良好的审美观念，在美中接受到丰富的数学知识，有助于教师更好地完成新课标的教学目标.