“好玩”的数学不解之缘

2018-03-19哈尔滨师范大学研究生马正方

数学大世界 2018年4期

关键词：好玩对号入座次序

哈尔滨师范大学研究生马正方

辩证法认为：一切客观事物都是互相联系的，都是具有内部规律的。忆往昔，是什么遗传千古的留念？是什么增添数学的容颜？看今朝，是什么谱成数学的新篇？是什么存在不解之缘？马跃跃啊路漫漫，我上下求索找答案！

一、数列接龙与幻方的不解之缘

“三项制”（等比等差这两种数列均为三项）数列接龙以“1、2、4”“1、3、9”“1、4、16”之类开头的项数无限的数列，该数列和传统文化的幻方存在莫名其妙的不解之缘！如此这般，可以设计两种“找朋友”的数学游戏。

第一种“找朋友”：

以幻方（图1）为参照系，根据数列接龙“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121……”之中的任意连续九项的数字“对号入座”。这就是说，该连续九项的数字之中，各个数字按先后次序是第几个数字，该数字就按参照系所写的同样数字所处的位置，在另一个事先准备的空白幻方图案之中填写该数字。如此这般，“对号入座”式地填满整个空白的幻方图案（如图2）。进一步具体举例说明：根据任意选择的数列接龙之中的九个数字“1、2、4、6、9、12、16、20、25”，这九个数字接先后次序排号分别为第1号、第2号、第3号之列；图2之中的2是根据图1这个参照系之中的2所提示的第2号，把九个数字的第2号数字“2”填写在此位置；图2之中的16是根据图1之中的7所提示的第7号，把第7号数字“16”填写在此位置。如此这般“对号入座”而成为图2。

图1

图2

这里任意的连续九项的数字是前面提出的数列接龙之中靠前的九个数字（这样比较简明）。如图2所示，两行数字相加之和相等：2+16+12=6+4+20=30；两列数字相加之和相等：2+25+6=12+1+20=33。如此这般，和数相等可谓“朋友”。

第二种“找朋友”：

图3

图4

以幻方（图3）为参照系，还根据（这样比较简明）前面的数列接龙进行，并且“对号入座”式的方法照样使用。

这里任意的连续十六项的数字仍然是前面提出的数列接龙之中靠前的十六个数字“1、2、4、6、9、12、16、20、25……72”。如图4所示，两行数字相加之和相等：56+16+36+2=64+12+30+4=110；1+42+20+49=6+25+9+72=112。两列数字相加之和相等：56+1+6+64=2+49+72+4=127；16+42+25+12=36+20+9+30=95。两条对角线数字相加之和相等：2+20+25+64=56+42+9+4=111。如此这般，和数相等可谓“朋友”。

下面再举三个例子，方法依然如前所述“对号入座”。也就是说，任意截取数列接龙（“三项制”）“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121……”之中的满足项数需要的一段数列（如本两个例子的十六项数列接龙“12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121”），然后按所截取的数列之中的各个数字的先后次序“排号”,各个数字根据“号数”（如1号、2号、3号等），按照参照系之中相同的数字所处的位置，从而在另一个事先画好的相同图案之中相同的位置进行“对号入座”式的填写（如图6、图8、图10所示）。

图5

图6

如图6所示，两行两列数字相加之和相等：16+90+49+72=56+36+110+25=100+72+30+25=81+90+20+36=227；另外两行两列数字相加之和也相等：42+81+12+100=121+20+64+30=42+16+121+56=12+49+64+110=235。如此这般，和数相等，可谓平等友好的“朋友”啊！

图7

图8

如图8所示，两行和一条对角线数字相加之和相等：56+16+6+25=20+49+30+4=36+49+6+12=103；两行和一条对角线数字相加之和相等：1+42+64+12=36+2+9+72=1+16+30+72=119；两列数字相加之和相等：1+56+20+36=12+25+4+72；42+16+49+2=64+6+30+9=109。如此这般，和数相等可谓平等友好的“朋友”啊！

图9

图10

如图10所示，两行两列数字相加之和相等：20+36+49+2=64+6+12+25=56+36+6+9=42+49+12+4=107；1+56+42+16=30+9+4+72=1+20+64+30=16+2+25+72=115。如此这般，和数相等，可谓平等友好的“朋友”啊！

如前面的图1、图3、图5、图7、图9所示，各个参照系都是从前流传下来的比较典型的幻方。图1正是古典的流传极广的九宫算幻方，因此，笔者特意选择这几个幻方作参照系。参照系不是固定不变的，可以根据掌握的幻方更换参照系。一个幻方作为参照系可供任何“三项制”的数列接龙“对号入座”使用。较多参照系，可以使数列接龙的表现多样化。

由于作为参照系的幻方存在一定的特殊性，和数相等的等量关系在特殊情况下表现不明显，因此不容易被人发现。例如有的等量关系表现在中间两行的8个数之和与两条对角线的8个数之和相等，两列的8个数之和与另外两列的8个数之和相等。

幻方属于优秀的中华传统文化，文化自信、理论自信需要继往开来，不断创新。数学是基础学科，数学是宇宙的语言。数学具有精准求是之真，化愚增智之善，简洁和谐之美。随着时代的进步和科学的发展，“组合数学”的作用得以彰显，各类数学互相交融组合，往往产生规模效应。让数联合起来成为数列，又让数列联合起来成为数列接龙，再让数列接龙产生上不封顶的高次方程，从而让数列接龙和幻方联合起来产生莫名其妙的不解之缘，如此这般的数学组合正是笔者努力创新的激情尝试。任何创新的初生阶段都不会尽善尽美，敬请尊师指教！

穿越时空，让新生的数列接龙和古老的幻方产生不解之缘：如图2、图4、图6、图8、图10统称数列接龙方阵，数列接龙方阵就是幻方的半成品，幻方的等量关系在数列接龙方阵之中形式不同地存在着。然而，数列接龙方阵的等量关系并不像幻方那样显眼直白，需要人的观察力而好玩，因此，数列接龙方阵不是幻方胜似幻方，真可谓青出于蓝而胜于蓝。

数列接龙方阵具有可操作性：编制一个数列接龙方阵比编制一个幻方容易得多。只要手中掌握几个现成的四阶（十六个方格）幻方作为参照系，就能够用以“1、2、4”开头的数列接龙之中的任意连续十六个数字经过“排号”而“对号入座”地编制成一个乃至无数个数列接龙方阵（由于接龙无限量而数字无穷多）。数列接龙方阵具有趣味性：发现其中不固定而多变的等量关系需要一定的观察、想象、思考、计算、判断等能力，还需要一定的情商。数列接龙方阵是寓教于乐、寓科于趣、寓理于情（如“找朋友”）、寓学于玩，从而进行素质教育的好教材！

科学需要猜想、联想、幻想之类的想象体现参考价值（下文对引力波也是如此），它山之石可以攻玉！数学是宇宙的语言啊！作为参照系的幻方恰似生物的基因，基因的改变而使数列接龙的数字落实在方阵上也随之改变并且规律性的表现发生变化。联想到“转基因”农作物，不正是如此吗？大千世界的生物不正是和基因息息相关吗？

二、数列接龙与五角星的不解之缘

（1）以1为首项的连续十项的数列接龙“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30”按一定次序安排在五角星的十个两线交点之上，并且组成五角星图案的五条线段，每条线段上不相邻（相隔一个数）的两个数相加之和，较大的和数减去较小的和数所得的差数写在该线段一侧的星角内：

图11

如图11所示，（1+20）-（2+16）=3，（6+25）-（9+20）=2，（4+16）-（6+12）=2，（2+30）-（4+25）=3，（1+30）-（9+12）=10，并且3+2+2+3=10。

（2）以2为首项的连续十项的数列接龙“2、4、6、9……36”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一样（具体程序从略），请见图12。

图12

图13

（3）以4为首项的连续十项的数列接龙“4、6、9、12……42”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一样，请见图13。

（4）以6为首项的连续十项的数列接龙“6、9、12、16……49”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一样，请见图14。

图14

如前面的（1）（2）（3）（4）所述，五角星的五个星角上的数字以“3、2、2、3、10”和“3、2、1、4、10”这样的旋律而循环往复地体现以“1、2、4”开头的等比等差数列接龙。“3、2、2、3、10”和“3、2、1、4、10”的不同而体现对立统一规律。

数学是宇宙的语言，具有独特的深刻性和哲理性，数学抽象地述说宇宙万物所存在的规律性。宇宙万物不以任何动物的主观意志为转移，而按一定的客观规律存在着。宇宙间所存在的引力波如同旋律图所示而以一定的旋律波动着，不可能“乱作为”！笔者如此大胆猜想，是由于历史表明：推动科学的发展需要想象的假说！

定义7 设X为一非空集合，υ1=(A1,λ1),υ2=(A2,λ2)是定义在X上的两个智立方集，则υ1和υ2之间的可能度公式为

如上所述，以“1、2、4”这样“三项制”开头的等比等差数列接龙不仅和幻方存在不解之缘，而且和五角星也存在不解之缘啊！难怪数学就是以数和形为主题的学问啊！学问啊学问，学问是什么？学问就是把原本简单的东西复杂化，又把原本复杂的东西简单化。当然，如此之化不是瞎化，而是科学化！就拿以“1、2、4”开头的数列接龙来说吧，如此接龙比较麻烦，但是这样做的好处是可以锻炼思维和计算的能力。如果想要把接龙进行得轻松快捷，可以如此对接龙进行简单化处理。以下揭示该数列的规律：

1、2、4、6、9、12、16、20、25、30……该数列从第二项开始，各项减去前项之差为：1、2、2、3、3、4、4、5、5……掌握了这个规律，就轻而易举地在30这个数字之后依次对各数加上“6、6、7、7、8、8、9、9……”从而顺理成章了。例如：30+6=36，36+6=42,42+7=49,49+7=56……如此这般依照“2、2、3、3、4、4……”这样成双成对的自然数列顺藤摸瓜，以“1、2、4”开头的等比等差数列接龙就快捷地实现了。

举一反三，触类旁通。如上所述的关于以“1、2、4”开头的等比等差数列接龙，然而其他关于以“1、3、9”“1、4、16”“1、5、25”之类开头的所有“三项制”等比等差数列接龙均和如上所述的“1、2、4”开头者具有类似的规律，并且均和幻方、五角星产生不解之缘。

例如以“1、3、9”开头的等比等差数列接龙：

1、3、9、15、25、35、49、63……该数列从第二项开始，各项减去前项之差为2、6、6、10、10、14、14……，从而构成以2为首项和以“6-2=4”为公差的关于2和一系列成对的自然数所形成的等差数列。

例如以“1、4、16”开头的等比等差数列接龙：

1、4、16、28、49、70、100、130……该数列从第二项开始，各项减去前项之差为3、12、12、21、21、30、30……，从而构成以3为首项和以“12-3=9”为公差的关于3和一系列成对的自然数所形成的等差数列。

例如以“1、5、25”开头的等比等差数列接龙：

1、5、25、45、81、117、169、221……该数列从第二项开始，各项减去前项之差为4、20、20、36、36、52、52……，从而构成以4为首项和以“20-4=16”为公差的关于4和一系列成对的自然数所形成的等差数列。

如上所述，各个数列接龙所形成的等差数列“1、2、2、3、3、4、4……”“2、6、6、10、10、14、14……”“3、12、12、21、21、30、30……”，如此这般，“三项制”数列接龙，所有出现的等差数列必然出现公差成为12、22、32、42这样一系列情况。

例如以“1、3、9”开头的等比等差数列接龙：1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121……，如前面关于“1、2、4”开头的数列接龙一样，连续十项把“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99”和“3、9、15、25、35、49、63、81、99、121”分别按一定次序安排在五角星上，每条线段上不相邻的两个数相加之和，较大的和数减去较小的和数所得的差数写在该线段一侧的星角内：

图15

图16

如图15和图16所示，五角星的五个星角上的数字必然以“12、8、8、12、40”和“12、8、4、16、40”这样的旋律而循环往复体现以“1、3、9”开头的等比等差数列接龙。

又例如以“1、4、16”开头的等比等差数列接龙：1、4、16、28、49、70、100、130、169、208、256……，如同前例关于“1、3、9”那样处理，如图17和图18所示：

图17

图18

如图17和图18所示，五角星的五个星角上的数字必然以“27、18、18、27、90”和“27、18、9、36、90”这样的旋律而循环往复地体现以“1、14、16”开头的等比等差数列接龙。另外，如图11、图15、图17所示，五角星左下角内的数字分别是10、40、90，如果是以“1、5、25”开头的等比等差数列接龙，那么左下角内的数字必然是160；如果是以“1、6、36”开头者，那么左下角内的数字必然是250。总而言之，各个数字均为自然数的平方数和零所组成的数字。

前面已经指出，所有的“三项制”等比等差数列接龙都和幻方有不解之缘。再举一例如下：

以幻方（图3）为参照系，以“1、3、9”开头的数列接龙前十六个数字“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121、143、169、195、225、255”对号入座地填写至图19之中。

图19

如图19所示，中间两行两列的数字之和分别相等：1+143+63+169=15+81+25+255=376，49+143+81+35=121+63+25+99=308；其余两行两列的数字之和分别相等：195+49+121+3=225+35+99+9=368，195+1+15+225=3+169+255+9=436；两条对角线上的数字之和相等：3+63+81+225=195+143+25+9=372。

综观全篇文章，分中有合，合中有分。分中有合就是把等比等差两种数列合在一起成为等比等差数列接龙；合中有分就是把等比等差数列接龙分成各段数字，从而把每段按一定次序安排在幻方图案和五角星图案之中来分析验证一定的规律。如此这般，数形结合，指点图案，激扬数字，数学世界的新大陆任你尽情游玩。正如数学大师陈省身所说：数学好玩。

再例如以“1、2、4”“1、3、9”“1、4、16”之类开头的项数无限的数列，该数列之中的任何连续十项的奇数项（或偶数项）按一定次序安排在五角星上，每条线段上不相邻的两个数相加之和，较大的和数减去较小的和数之差写在该线段一侧的星角内。例如把“1、2、4”开头的这样“三项制”数列之中的奇数项1、4、9、16、25、36、49、64、81、100以及偶数项 2、6、12、20、30、42、56、72、90、110分别安排在图20和图21之中进行如上所述的加减处理（如（1+64）-（4+49）=12）：

图20

图21

如图所示，两图之中星角内的五个得数一模一样，并且和以前介绍的五角星存在同样的规律性：12+8=6+14，12+8+6+14=40。其他“三项制”等比等差数列接龙也具有如上所述的类似情况。

如此这般，充分体现出数学的和谐之美！如图21所示，五角星的左下角内的数字是40。如果是以“1、3、9”开头的等比等差数列接龙，那么该角内的数字必然是160；如果是以“1、4、16”开头，那么该角内的数字必然是360。总而言之，各个数字均为2、4、6之类偶数的平方数和零所组成的数字。

例如：以“1、3、9”开头的等比等差数列接龙“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121、143、169、195、225、255、289、323、361、399……”，把该数列的连续十项的奇数项1、9、25、49、81、121、169、225、289、361按一定次序安排在五角星上（如图22）并且如图20所示进行处理：

图22

又例如：以“1、4、16”开头的等比等差数列接龙“1、4、16、28、49、70、100、130、169、208、256、304、361、418、484、550、625、700、784、868……”，把该数列的连续十项的偶数项4、28、70、130、208、304、418、550、700、868按一定次序安排在五角星上（如图23）并且如图21所示进行处理：