减少解析几何运算的常见方法

丁兴春

解析几何是利用代数的方法研究几何问题，因此在解决解析几何问题时，不可避免地会进行一些代数运算.如果解决问题的起点和方法不当，往往会导致计算量过大，运算复杂，以致不能完全解决问题，因此我们有必要探究优化解题过程，了解一些减少运算量的方法和技巧.下面通过举例介绍一些解析几何中减少运算的常见方法.

1.巧设待定的量

解析几何中设待定的量方便解决问题是常用的一个手段，当然某一问题的解决可能有多种设法，例如常见的设点、设斜率等.在设之前要作预判，如能设得恰到好处，解决问题时便能减少运算，

例1过点M（0，1）作一条直线，使它被两条直线l₁：2x+y-8=0，l₂：x-3y+10=O所截得的线段恰好被点M平分，求此直线的方程.

分析与解 已知该直线过点M（O，1），因此要求该直线方程很容易想到设直线的斜率为k，写出方程，分别求出该直线与l₁及l₂的交点坐标，再由M为中点，根据中点坐标公式列出关于k的方程，解出k即可，当然还要对斜率不存在的情况做一个简单的说明.思路是简單的，但按此下去，运算复杂，计算难度大，换个角度，除了确定斜率外也可以确定除M外的另一点来确定该直线.

不妨设该直线与l₁的交点坐标为：（a，8-2a），

则该点关于M（O，1）的对称点（-a，2a-6）在直线l₂：x-3y+lO=0上，

于是得到关于a的方程为-a-3（2a6）+10=0，解得a-4，

所以该直线与l₁的交点坐标为：（4，0），

义该直线过点M（O，1），所以该直线为x/4+y/1=1即x+4y-4=0.

2.利用曲线系

某些曲线相交问题可以借助于曲线系，避免求曲线的交点，从而减少计算，获得简洁的解决方法.

例2 已知圆0₁：x²+y²-4x-6=0和圆O₂：x²+y²-4y-6=0，圆C的圆心在直线x-y-4=0上，且过圆0₁与圆0₂的交点，求圆C的方程.

分析与解 该题通常的做法是：先求出圆0₁与圆O₂的交点坐标，然后设出网C的方程（一般方程、标准方程均可）后，建立方程组求解.对于该题来说，求网O₁与圆0₂：的交点坐标不算很复杂，但总的说来常规解法对运算要求还是比较高的.我们可以运用曲线系的方法避免求圆O₁与圆0₂的交点坐标，从而获得简洁的做法.

设圆C的方程为x²+y²-4x-6+λ（x²+y²-4y-6）=O（λ∈R），

即（1+λ）x²+（1+λ）y²-4x-4λy6（1+λ）=0，

圆心（2/（1+λ）），（2λ/（1+λ））在直线x-y-4=0上， 于是2/（1+λ）-2λ/（1+λ）-4=0，解得λ=-1/3， 因此圆C为x²+y²-6x+2y-6=0. 3.等价转换 有些解析几何问题如果直接求解，需要分类讨论，且运算量大，容易出错，如果把问题做一个等价的转换，从另外一个角度解决问题，往往能化繁为简，

例3不论k为何实数，直线kx-y+l-k=0与圆（x-a）²+（y-2a）²=10恒有公共点，求实数“的取值范围.

4.利用几何性质

解析几何问题的解决自然离不开数形结合，在解题时充分发掘和利用图形本身白有的一些平面几何的性质，可以得到简洁而优美的解答.

例4 已知圆O：x²+y²=5上一点P（1，2），A，B为圆0上相异的两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值，

分析与解 本题的思路比较简单，首先根据直线PA，PB的倾斜角互补，可知直线PA，PB的斜率互为相反数，我们可以设出PA的斜率为k，写出出直线PA的方程并与圆0的方程联立方程组，解出A的坐标，同理可以解出B的坐标，最后再求出直线AB的斜率.又由于圆有明显的几何性质，因此不妨可以考虑利用圆的几何性质来减少运算.

考虑到PA，PB与x轴围成等腰三角形，作点P关于x轴的对称点Q，连结OQ，因为PQ平分/APB，所以Q为弧AB的中点，从而OQ⊥AB，又Q（l，-2），所以k_∞=-2，于是k_AB=1/2为定值.

减少解析几何运算的方法还有很多，不同的问题有不同的方法.我们不要停留在常规的计算上，应看清问题本质，寻找条件与题设之间的关系，这样才能有助于我们更好地更简洁地解决问题.当然平时练习时还要注意总结和积累，定能以简驭繁.endprint