例谈高中函数值域的几种解法

许奕+马雄

摘要：高中数学课本中的的函数知识点一直都是作为一个十分关键的学习模块而存在，也正是因为其自身内容的重要性与复杂性，让许多学生在学习的时候都遇到了或多或少的困难.本文就立足于高中函数在求解值域时运用到的方法，选取一些合适的例题进行讲解与归纳，希望能够为该知识的讲解带来一定的帮助作用.

关键词：函数值域；解题方法；适用类型

一、配方法

该种方法的适用类型为一般能够利用换元法进行等量转化的数学题目类型.

例1求函数y=e-x2+4x-3的值域.

解析这道题目能够将公式拆分成为y=eu以及u=-x2+4x-3这样两个部分，这样一看该函数呈现出一个复合函数应有的样子，接下来就可以针对u来进行配方，可以得到：u=-（x-2）2+1，最终可以确定函数的最值，也就是最大值u=1，得到最值之后就可以按照y=eu来求解出当最终的函数大于等于零的时候，函数y=e-x2+4x-3的值域为：y∈（0，e].

例2求解函数y=-x2+x+2中的值域范围.

解析仔细观察不难得出该式中存在可以完全平方的式子，因此就可以利用这一点，凑成二次函数来达到求解最值和值域的目的.首先确定该题目中的定义域x∈[-1，2]，接下来就可以针对根号下面的式子-x2+x+2来将其变为-（x-12）2+94∈[0， 94]，由此可见，该题目中0≤-x2+x+2≤32，所以不难最终判断出其值域为[0， 32].

如果面对的式子是一种分式形式的时候：，并且该分式可以通过变形调整为y=aa1x2+b2x+c+b的形式，通常就可以按部就班选择配方分母部分的方法进行值域解析的尝试.

例3求解y=12x2-3x+1的值域范围.

解析将题目中的函数进行分母配方，可以得到式子：

y=12 （x-34）2-18，通过该式，能够推理得出：

2（x-34）2-18≥-18.

因此，最终可以确定该分式y的最终值域为：（-∞，-8）∪（0，+∞）.

二、 判别式法

该种方法通常来说被广泛应用在分式的上下部分均含有二次项的函数类型，并且能够通过一定程度的转换使其成为A（y）x2+B（y）x+C（y）=0的公式形式，这样一来更利于寻找最终的值域范围.

例4求解x2-3x+4x2+3x+4的值域.

解析该式中可以按照判别式法计算的原理，将原式调整成为：

（y-1）x2+（3y+3）x+（4y-4）=0.

于是进行进一步判断，可以发现当y≠1的时候上式能够最终构成未知数为x的一元二次方程式，同時x取值范围没有受到限制，因此Δ≥0，也就是说：

（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）=-7y2+50y-7≥0，解得17≤y≤1或1

又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为[17，7].

三、反函数法

该种函数类型通常为分式中上下部分只具有一次项函数的时候才能适用.

例5求解函数y=2x3x+1的值域.

解析针对反函数的解题思路来看，y=2x3x+1中x定义域应该是{x|≠-13}，将其进行映射思路的反向对应能够确定出一个新的函数也就是y=x2-3x，并且能够确定新的定义域也变为了{x|x≠23}，因此可以用反向思考的方式确定原函数的值域为（-∞，23）∪（23，+∞）.

在解这道题的时候应该注意该种方法只能应用于函数形式为y= ax+bcx+d （c≠0）的函数，因此其本身在应用的过程中就缺乏一定的通用性.

四、换元法

该种方法是现在在解决高中数学函数问题时经常会采用到的一种方法，对于一些三角函数在解决值域问题的时候通常就会采用这种方法.

例6求解函数y=2x-3+13-4x的值域范围.

解析在求解这道题的过程中，单纯求解13-4x比较困难，而换元法的思路就是对其中比较复杂的问题进行替换，比如选择t=13-4x，并且要关注t的取值为t≥0，因此有：

x=13-t2 4，因此y=13-t22-3+t（t≥0），经过公式有规律的转换可以得到：

2y=-（t+1）2+8（t≥0），也就是说y∈（-∞，4）.

在采用换元法的过程中必须要对替代项形成的新定义域范围有所把握，才能够保证最终求得的值域是正确的.

此外，对于三角函数来说，同样可以应用同种方法.

例7求解函数y=sinx+cosxsinx+cosx的值域.

该题目中出现了熟悉的三角函数，就应该考虑到一些与三角函数有关的规律，比如sin2x+cos2x=1，（sinx+cosx）2=1+2cosxsinx，这样一来就可以将cosxsinx看为一个整体的符号，根据这一原理，可以将cosx+sinx设为t，并且t=cosx+sinx∈[-2，2]，因此有：t2=1+2sinxcosx.

sinxcosx=t2-12，因此原函数可化为：

y=t+t2-12 （t∈[-2，2]），也就是2y=（t+1）2-2，y=12 （t+1）2-1.

因为上式中，t取值为[-2，2]，

所以原函数中y∈[-1，12 +2].

五、方程式法

采用该种方法，能够合理恰当的利用不等式的关系，来对函数中的数量关系进行构建与梳理，最终求得正确的函数值域范围.

例8已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，求该函数的值域范围.

解f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，

2y-xy=4x2-7，x∈[0，1]，

因此，4x2+xy-（7+2y）=0，x∈[0，1]，

由此，为了求得原函数的值域范围，也就转换成为了求解4x2+xy-（7+2y）=0在x∈[0，1]内有解的函数的取值集合.

使g（x）=4x2+xy-（7+2y），x∈[0，1]，

所以能够看出有关x的方程式4x2+xy-（7+2y）=0在中存在解，且g（0）×g（1）≤0，

或者g（0）>0

g（1）>0

0<-b2a =-y2×4<1

b2-4ac=y2-4×4（7+2y）≥0 .

最终得到值域-72≤y≤3或-4≤y≤-72，-4≤y≤3.

在高中数学理解的过程中，学生往往会面临多种多样的问题，针对函数模块的学习来说，更需要具备举一反三，触类旁通的思维理念.在面临值域的求解过程来说，需要根据所给的已知条件来判断选择什么样的方法才能够帮助快速解决题目问题，希望本文通过集中不同类型方法以及相应例题的列举，能够更好的为函数的学习奠定良好的数学基础.

参考文献：

[1] 邵琼.含参非二次议程根的问题解法分析[J].数理化解题研究，2013（2）：28-29.

[2] 戚玉鹏，张朝阳.基于非正交对角化算法的非平稳信号盲分离[J].浙江大学学报，2014（3）：27.