2017年全国II卷第10题的解析变式及教学启示

苏艺伟

摘要：本文以2017年全国II卷第10题为例说明如何采用綜合法，基底法，坐标法求解空间中的线线角，并给出相关的变式训练，最后对立体几何教学中存在的问题浅谈自己的看法.

关键词：线线角；综合法；基底法；坐标法

空间角的计算是高考重点考查的内容，在高考试题中涉及到的空间角经常有线线角，线面角，二面角.对于线线角的考查，一般以考查两异面直线所成角为主，解决此类问题往往可以采用三种方法，分别是综合法，基底法，作标法.

一、考情分析

试题1（2017年全国II卷第10题）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

A.32B.155C.105B.33

试题分析本题作为选择题第10题，处于较为压轴的位置，具有一定的难度，主要考查空间中线线角的计算，能够较好地区分不同程度的考生.试题表述简短，朴实，平易近人，但是内涵丰富，寓意深厚，着重考查考生的空间想象能力（没有给出具体图形），推理论证能力.考生必须具备较强的空间想象能力，运算求解能力方能正确作答.试题入手宽，解法多，具有较好的探究意义.

二、解法分析

方法1：综合法

如图1所示，取AB中点M，BC中点Q，B1B中点N，B1C1中点P.连接MQ，PQ，MP，MN，PN.

因为AB1//MN，BC1//PN，

所以异面直线AB1与BC1所成的角即为∠MNP或其补角.

所以AC=7，MQ=72，PQ=1，MN=52，PN=22，PM=112.

在ΔMNP中，cos∠MNP=PN2+MN2-PM22PN·MN=-105.

又异面直线所成角的范围是（0，π2]，

故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105.

方法2：基底法

如图2所示，设BA=a→，BB1=b→，BC=c→，

则a→=2，b→=1，c→=1，a→·b→=0，c→·b→=0，a→·c→=-1.

由于AB1=AB+BB1=b→-a→，

BC1=BB1+B1C1=b→+c→.

故AB1·BC1=2，AB1=5，BC1=2.

设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，

则cosθ=AB1·BC1AB1BC1=105.

方法3：坐标法

如图3所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1放入长方体A1E1F1C1-AEFC中，以A为原点，AE为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系.

由于∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，

易求得AC=7，AE=37，BE=57.

所以A0，0，0，B37，57，0，B137，57，1，C10，7，1.

AB1=37，57，1，BC1=-37，7-57，1.

故AB1·BC1=2，AB1=5，BC1=2.

设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，

则cosθ=AB1·BC1AB1BC1=105.

上述三种方法是处理空间中线线角的常用方法.方法1为综合法，理论依据是立几中的三个公理以及相关定理、性质.其关键在于作出辅助线，进而证明与解答.方法2是基底法，理论依据是空间向量基本定理（空间中任意一个向量都可以表示成不共面的三个向量的线性组合），需要三个模与相互夹角已知的不共面向量作为基底，用其表示空间内任意向量，通过数量积等运算实现化归.方法3是建立空间直角坐标系，将几何元素以坐标的形式体现出来，转化为坐标的运算.三种方法都具有各自的优点，不可偏废.本道高考试题很好地展现了三种解法的运用，故而具有很好的探究意义并且对中学数学教学具有很好的导向功能.

变式1已知四面体O-ABC的各条棱长都是1.M，N分别是AB，OC的中点.求异面直线OM与BN所成角的余弦值.

方法1：综合法

如图4所示，连接MC，取MC中点G，连接NG，BG.

由于OM//NG，所以异面直线OM与BN所成的角即为∠BNG或其补角.

易求得BN=32，NG=34，BG=74.

在ΔBNG中，cos∠BNG=BN2+GN2-BG22BN·GN=23.

故异面直线OM与BN所成角的余弦值为23.

方法2：基底法

如图5所示，设OA=a→，OB=b→，OC=c→.

则a→=1，b→=1，c→=1，a→·b→=12，c→·b→=12，a→·c→=12.

由于OM=12a→+b→，BN=ON-OB=12c→-b→.

故OM·BN=-12，OM=32，BN=32.

设异面直线OM与BN所成的角为θ，

则cosθ=OM·BNOMBN=23.

方法3：坐标法

如图6所示，将四面体O-ABC放入正方体A1E1F1C1-AEFC中，并且建立空间直角坐标系.

由于四面体O-ABC的各条棱长都是1，所以正方体棱长为22.

所以O22，22，22，M24，0，24，B22，0，0，N24，22，24.

OM=-24，-22，-24，BN=-24，22，24.

故OM·BN=-12，OM=32，BN=32.

设异面直线OM与BN所成的角为θ，

则cosθ=OM·BNOMBN=23.endprint

变式2（2015年浙江高考理科第13题）在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是多少？

方法1：综合法

如图7所示，连接DN，取DN中点E，连接ME，CE.

由于AN//ME，所以异面直线AN，CM所成的角即为∠CME或其补角.

易求得ME=2，CE=3，CM=22.

在ΔCME中，cos∠CME=78.

故异面直线AN，CM所成角的余弦值是78.

方法2：基底法

如图8所示，设AD=a→，AB=b→，AC=c→.

则a→=2，b→=3，c→=3.

易求得cos∠BAC=79，cos∠CAD=13，

cos∠BAD=13.

故a→·b→=2，c→·b→=7，a→·c→=2.

由于AN=12c→+b→，CM=AM-AC=12a→-c→.

故AN·CM=-7，AN=22，CM=22.

设异面直线AN与CM所成的角为θ，

则cosθ=AN·CMANCM=78.

方法3：坐标法

如图9所示，将三棱锥A-BCD放入长方体中，并且建立空間直角坐标系.

A2，0，0，N22，22，7，C2，2，7，M22，22，0.

AN=-22，22，7，CM=-22，-22，-7.

故AN·CM=-7，AN=22，CM=22.

设异面直线AN与CM所成的角为θ，

则cosθ=AN·CMANCM=78.

三、教学启示

1.讲透核心概念

空间中线线角的求解计算往往可以采用综合法和向量法（向量基底法与向量坐标法）来解决.虽然方法有别，但是各种方法的出发点是异面直线所成角的定义以及异面直线和共面直线的区别.这就启发我们在教学中一定要抓住核心概念，讲透核心概念的来龙去脉，从正反两方面深刻理解核心概念的本质，并在此基础上进行相关的解题策略引导以达到对概念内涵和外延的巩固.

2.不可偏废综合法

在现实教学中，笔者发现，向量法可以以算代证地处理几何问题，强有力的代数计算几乎扼杀了几何方法的直观简洁之美，将几何推证沦为机械计算的数字游戏.事实上，综合法的实质是立体问题平面化，即利用已知条件及定理，性质，法则等已知事实，以合情推理为先导，演绎推理不断整合完善，最终将空间问题转化为平面问题，实现条件与结论的沟通，其解题途径多样，思维灵活多变，能够更好地培养数学理性思维，提升数学核心素养.以2016年全国I卷第11题为例进行说明.

试题2平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）.

A.32B.22C.33D.13

解法分析如图10所示，设面CB1D1∩平面ABCD=m1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1.

由于α//平面CB1D1，平面ABCD∩α=m，平面ABCD∩面CB1D1=m1，

根据面面平行的性质定理有m//m1.

由于面ABCD//面A1B1C1D1，面CB1D1∩平面ABCD=m1，面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1，

根据面面平行的性质定理有B1D1//m1.

因此有m//B1D1.

由于α//平面CB1D1，平面ABB1A1∩α=n，平面ABB1A1∩面CB1D1=n1，

根据面面平行的性质定理有n//n1.

由于面DCC1D1//面ABB1A1，面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1，

根据面面平行的性质定理有CD1//n1.

因此有n//CD1.

因此，m，n所成角的正弦值为B1D1与CD1所成角的正弦值.

由于ΔCB1D1是一个正三角形，故正弦值为32.

不难发现，本道试题也是空间中线线角的求解.然而由于题目本身的特殊性，无法采用基底法或者坐标法，此时只能运用综合法的思路进行分析.因此，如果我们在平时的教学中一味地强调向量法就会导致学生的思维产生局限，碰到诸如此类较为灵活的试题就会受阻.相反如果我们能够注重对综合法的培养与渗透，学生在陌生的情境下就能够自觉分析，不仅能够顺利解答还能产生更多优秀的解法.

优化解法1如图11所示，由于α//平面CB1D1，平面ABCD∩α=m，平面ABCD∩面CB1D1=CM，

根据面面平行的性质定理有m//CM.

由于α//平面CB1D1，平面ABB1A1∩α=n，平面ABB1A1∩面CB1D1=B1M，

根据面面平行的性质定理有n//B1M.

因此，m，n所成角的正弦值为CM与B1M所成角的正弦值.

由于ΔCB1M是一个正三角形，故正弦值为32.

优化解法2 如图12所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的下方和下方的左侧各补上一个一模一样的正方体.显然AR//D1B1，AF//D1C，故面ARF//面CB1D1，

因此题目给出的平面α即是面ARF.

不难发现，α∩平面ABCD=m，即为面ARF∩平面ABCD=m，故m=AR；

同理，α∩平面ABB1A1=n，即为面ARF∩平面ABB1A1=n，故n=AF.因此m，n所成角即为直线AR，AF所成的角.

设该正方体的棱长为1，

在ΔARF中，AR=2，AF=2，RF=6，

由余弦定理可求得∠RAF=120°.

因此m，n所成角为120°，故正弦值为32.

3.正确处理好综合法与向量法的关系

向量法的引入是大势所趋，符合国际数学发展的潮流.向量法对学生运算能力的培养等方面具有促进作用，且能有效减轻学生学习立体几何过程中过渡依赖平面几何的沉重负担，正如吴文俊先生说，如今随着计算机的应用和发展，用代数研究几何难题是最好的方式，除此之外我实在想不出其他的.这足以体现向量工具性的作用.因此在教学中，我们要处理好综合法与向量法的关系，鼓励学生灵活选择运用向量法与综合法，从不同角度解决立体几何问题.

参考文献：

[1]张延斌.剖析立体几何中几个常见模型的运用[J].中学数学教学，2017（3）：27-29.endprint