全国高考江苏卷理科题的多解及推广

徐达强+刘秋阳+刘成龙

摘要：分析了试题的命题源头，并从不同的视角给出了试题的8种解法.

关键词：源头；多解；推广

案例（2017全国高考江苏卷理科12题）如图1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m+n=.

一、命题探源

命题探源指的是探究命题的源头.命题探源对认识试题背景有积极作用，它是试题解法研究的起点.波利亚在其名著《怎样解题》中写到“你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍微不同的形式出现吗？你知道一道和它相关的题目吗？”[1]这正是在提醒我们解题时要弄清试题的源头.

例1（2006年福建卷理科11题）已知OA=1，OB=3，OA·OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30o.设OC=mOA+nOB（m，n∈R），则mn等于（）.

A.13B.3C. 33D.3

例2（2007年陕西卷理科15题） 如图2，平面内有三个向量OA，OB，OC， 其中OA与OB与的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且OA=OB=1，OC=23|，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.

例3（09年安徽卷理科14题）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°. 如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

向量分解的系数问题是高考的热点，深受命题者的青睐.例1、2、3均呈现的是平面内一个向量用另外两个向量线性表示，求系数间的关系.该类问题主要涉及向量的分解、数量积、三点共线的向量表示以及平面几何等知识，问题解答视角宽，能有效展示学生思维的灵活性和策略的多样性.不难发现，2017年江苏卷理科12题（下文简称12题）有以上例题的影子：不管是试题背景、呈现形式、设问方式，还是解答策略都惊人的相似.对例1、2、3这三个问题的研究有利于找到文中案例的解答思路.

二、解法研究

从系统论来看，一个数学问题就是一个相对独立的系统，对系统的处理（解题）就是把系统中一个个零散的信息按照一定顺序串在一起形成一个有机整体. 一题多解是解法研究的基本形式，体现的是信息组合的多样性和思维策略灵活性.[2]12题的解答思路很多，如下：

视角一利用数量积公式求解

解法1由题意得：

OA·OC=m|OA|2+nOB·OA，

OB·OC=mOA·OB+n|OB|2，

于是（m+n）（1+OA·OB）

=OA·OC+OB·OC.

得（m+n）（1-35）=2×210+2×22.

所以 m+n=52×65=3.

视角二利用解析法求解

解法2如图4建立坐标系，则A（1，0），B（cos（34π-α），sin（34π-α）），

C（2cosα，2sinα）.

因为tanα=7，

所以sinα=7cosα.

又因为 sin2α+cos2α=1 ，

所以sinα=7210，cosα=210.

故B（-35，45），C（15，75）.

由OC=mOA+nOB，所以m-35n=1545n=75 .

即m=54n=74 ，所以m+n=3.

解法3建立坐标系（如图5），则坐标B（-1，0）、C（-1，1）.

设A（x，y），

因为cosα=OA·OC|OA·OC|=210，

所以y-x=15x2+y2=1.即x=35y=45 .

所以A（35，45）.

由OC=mOA+nOB，得m=54n=74 .

所以m+n=3.

视角3利用三角函数法求解

解法4因为tanα=7 ，所以sinα=7cosα .

因为sin2α+cos2α=1，所以sinα=7210cosα=210 .

又cosα=OA·OC|OA|·|OC|=OA·（mOA+nOB）2

=m+nOA·OB2=210，

cos45°=OB·OC|OB|·|OC|=OB·（mOA+nOB）2

=n+mOA·OB2=22，

且OA·OB=|OA|·|OB|cos（α+π4）=-35 ，

所以m=54n=74 ，得m+n=3.

解法5因為tanα=7，∠BOC=45°.

所以tan∠BOC=1.

所以tan∠MOD

=tanπ-（45°+α）

=-tan（45°+α）=43.

又sin∠MOD=45且MD=1，

所以OM=54，CM=74.

所以m=54，n=74.

所以m+n=3.

视角4利用几何法求解

解法6如图7所示，在RtΔCBD和RtΔCAE中，

m2=（n-1）2+1n2=（m-15）2+（75）2

解得m=54，n=74.

即m+n=3.

解法7由图8，得OC=OB+BC=OB+OD.

设OD=aOB+bOA，

则OC=OB+BC=OB+（aOB+bOA）.

又因为∠BOD=π2，∠BOC=π4.

所以∠DOA=α-π4.

即cos∠DOA=cos（α-π4）=|OD||OA|=1b=45.

解得b=54.

同理sin（α-45°）=|AD||OA|=45a=35.

解得a=34.

故OC=OB+BC=（1+a）OB+bOA.

得OC=OB+BC=（1+a）OB+bOA

=74OB+54OA.

所以m+n=54+74=3.

视角5利用等和线求解

解法8如图9所示，连接AB，交于OC于D.

设xOA+yOB=OD，得x+y=1.

设OC=kOD，

所以OC=kOD=kxOA+kyOB

=mOA+nOB.

所以m+n=k=OCOD.

在△OAB中，设∠OAB=θ，于是ODsinθ=OBsin∠ODB .

因为tanα=7，

所以sinα=7102，cosα=210.

又因为π4+α+2θ=π，

所以tan2θ=tan（3π4-α）=34.

解得sinθ=55，cosθ=255.

所以OD=sinθsin（θ+α）=23.

故m+n=k=|OC||OD|=3.

评注文中从不同角度给出了8种解法，正所谓“条条大道通罗马”——殊途同归.8种解法呈现的是不同的思维策略，展现了达成目标路径的多样性.前7种解法都比较常规，第8种解法给出了此类问题的本质，值得重视.

三、推广

设OA，OB，OC的模分别为a，b，c，OA与OC的夹角为α，OB与OC的夹角为β，（α，β∈（0，π2）），且tanα=λ，若OC=mOA+nOB.则m+n=.

利用解法8可以得到推广中m+n的值，过程略.

参考文献：

[1] 波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] 郑云升，向婉诗，刘成龙.《怎样解题表》指导下的解题实践[J].数学教学通讯，2012（2）：48-51.endprint